При каких значениях x имеет смысл выражение

[Ramster]

При каких значениях x имеет смысл выражение: $\sqrt {\frac12 x^2 + x}$

Моё решение:

Выражение имеет значение при $\frac12 x^2 + x \ge 0$

$\frac{x^2 + 2x}{2} \ge 0$
$x^2 \ge -2x$
$-\frac{x^2}{x} \ge -2$
$-x \ge -2$ /-1
$x \le 2$

И понятно, что $x \neq 0$.

Но в ответах: $x \le - 2$; $x \neq 0$
То есть у меня $x \le 2$, а должно быть $x \le - 2$.

Что я сделал неправильно?

[Null]

$-\frac{x^2}{x} \ge -2$ - неверное следствие

[Ramster]

Должно получится:

$-\frac{x^2}{x} \ge 2$ ?

Просто при таком раскладе действительно получается $x \le - 2$.

[Виктор Викторов]

Ramster в сообщении #372008 писал(а):

Но в ответах: $x \le - 2$; $x \neq 0$
Что я сделал неправильно?

Подставьте $x=20$ и $x=0$ в выражение $\sqrt {\frac12 x^2 + x}$.

[Ramster]

Виктор Викторов в сообщении #372026 писал(а):

Ramster в сообщении #372008 писал(а):

Но в ответах: $x \le - 2$; $x \neq 0$
Что я сделал неправильно?

Подставьте $x=20$ и $x=0$ в выражение $\sqrt {\frac12 x^2 + x}$.

Зачем

[Виктор Викторов]

Ramster в сообщении #372029 писал(а):

Зачем

Подставьте - поймете зачем.

[Joker_vD]

Нельзя в неравенстве умножать/делить на отрицательные числа! А если уж делите/умножаете, так меняйте знак неравенства.

[Алексей К.]

Ramster в сообщении #372008 писал(а):

$x^2 \ge -2x$
$-\frac{x^2}{x} \ge -2$

Вы не вправе делить обе части НЕравенства на одно и то же число. Это можно делать, когда известно, что число положительно. Или когда известно, что число отрицательно (но тогда надо поменять $\ge$ на $\le$. Но про $x$ Вам пока ничего неизвестно; стало быть, операция эта незаконна.
Ой, а тут вообще какая-то путаница с делением, со знаками...

Квадратичные неравенства (часто) решаются разложением на множители и последующим думанием о знаках сомножителей.

[Ramster]

Так ведь, если x перенести влево, то знак станет отрицательным. Вот я и перенёс...

-- Вс ноя 07, 2010 19:28:52 --

Рассмотрим каждое действие:

$\frac{x^2 + 2x}{2} \ge 0$ - привёл к общему знаменателю
$x^2 \ge -2x$ - поделил всё на 2 (избавился от знаменателя), перенёс 2x вправо (знак поменялся)
$-\frac{x^2}{x} \ge -2$ - перенёс x влево (знак поменялся)
$-x \ge -2$ /-1 - посчитал, поделил всё на -1
$x \le 2$ - итог.

[Алексей К.]

Ramster в сообщении #372008 писал(а):

$x^2 \ge -2x$ --- с этим никто не спорит;
$-\frac{x^2}{x} \ge -2$ --- а это лажеобразно очень. Здесь Вы, похоже, делили.

$3^2 \ge -2\cdot3$ --- Yes.
$-\frac{3^2}{3} \ge -2$ --- ???

[Ramster]

Алексей К. в сообщении #372060 писал(а):

Ramster в сообщении #372008 писал(а):

$x^2 \ge -2x$ --- с этим никто не спорит;
$-\frac{x^2}{x} \ge -2$ --- а это лажеобразно очень. Здесь Вы, похоже, делили.

$3^2 \ge -2\cdot3$ --- Yes.
$-\frac{3^2}{3} \ge -2$ --- ???

Ну я подумал, что раз x стоял как множитель с -2, то при переносе нужно делить) А как надо?

[Алексей К.]

Ramster в сообщении #372046 писал(а):

$-\frac{x^2}{x} \ge -2$ - перенёс x влево (знак поменялся)

Пока даже не понимаю! Путаница у Вас какая-то с этими "перенесениями".

-- 07 ноя 2010, 18:37 --

Надо решать неравенство $x(x+2)\ge 0$. Более никаких преобразований.

А потом, когда решите, вернуться взад и разобраться с этими Вашими непонятными махинациями "вправо-влево".

[ewert]

Ramster в сообщении #372062 писал(а):

А как надо?

А надо просто раздожить подкоренное выражение на множители.

[Ramster]

Алексей К. в сообщении #372063 писал(а):

Надо решать неравенство. Более никаких преобразований.

Получилось $2 \ge x \ge 0$, что не сходится с ответом.

[Алексей К.]

Ramster в сообщении #372086 писал(а):

Получилось $2 \ge x \ge 0$, что не сходится с ответом.

Это не только с ответом не сходится. Очевидно, без всяких вычислений, что
$1000(1000+2)\ge 0$, и
$100(100+2)\ge 0$, и
$10(10+2)\ge 0$, и
$1(1+2)\ge 0$.
А в Ваш ответ попал только мой последний пример, c $x=1$.
Вот возьмите, например, подставьте $x=100$ в каждый шаг своих (скрытых от нас) выводов, и увидите, где ошиблись.

Когда произведение двух сомножителей положительно?

()

Когда они оба положительны, или они оба отрицательны.