найти миннимум

[daogiauvang]

Пусть $a,b,c>0 , S=abc $. Найти наименьшее значение $L$ удовлетворяет условию:
$\frac{a^3-s}{2a^3+s} + \frac{b^3-s}{2b^3+s} +\frac{ c^3-s}{2c^3+s} \leq L$

[ewert]

Надо максимизировать функцию $3(\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}-1)$ на поверхности $xyz=1$ (где $x\equiv\frac{ab}{c^2},\ y\equiv\frac{bc}{a^2},\ z\equiv\frac{ca}{b^2}$). Составляем функцию Лагранжа $\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2+y}+\frac{1}{2+z}-\lambda(xyz-1)$. Так вроде как ноль и выходит (в экстремальной точке $x=y=z=1$; в другой экстремальной точке $x=\frac{1}{4},\ y=z=2$ получится минус, и на границе, где хоть одна переменная равна нулю и хоть одна бесконечности, тоже или ноль, или минус). Это если ничего не напутал.

[daogiauvang]

Ага! все Вы сделали правильно. Я жду решение со использованием неравенства " Коши".

[arqady]

daogiauvang в сообщении #324287 писал(а):

Пусть $a,b,c>0 , S=abc $. Найти наименьшее значение $L$ удовлетворяет условию:
$\frac{a^3-s}{2a^3+s} + \frac{b^3-s}{2b^3+s} +\frac{ c^3-s}{2c^3+s} \leq L$

Докажем, что $\sum\limits_{cyc}\frac{a^2-bc}{2a^2+bc}\leq0.$
Заметим, что $\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{2a^2+bc}\leq1\Leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\left(\frac{1}{2}-\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\geq\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sum\limits_{cyc}\frac{bc}{2a^2+bc}\geq1.$
Поэтому остаётся доказать, что: $\sum\limits_{cyc}\frac{bc}{2a^2+bc}\geq1$, что верно поскольку
$\sum\limits_{cyc}\frac{bc}{2a^2+bc}=\sum\limits_{cyc}\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}\geq\frac{(ab+ac+bc)^2}{\sum\limits_{cyc}(2a^2bc+b^2c^2)}=1.$

[daogiauvang]

Подобное неравенство..Можно решать по методу arqady's
Доказать, что: $\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$ где $a,b,c >0 $ и $a^2+b^2+c^2=3$.

[Sasha2]

Можно и проще, если заметить, что
$\frac{1}{2-a}=\frac{1}{2}+\frac{a}{2(2-a)}=\frac{1}{2}+\frac{a^2}{2a(2-a)}$, и $a(2-a) \le 1$

[daogiauvang]

Если $a,b,c>0 $ и $ a+b+c=3$ Доказать, что $8\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+9 \geq 10 \left(a^2+b^2+c^2 \right)$