Найти предел

[nevero]

Помогите пожалуйста доказать, что следующий предел равен бесконечности:
$\lim_{n \to \infty} ne^n(\cos{\frac{1}{n}})^{2n^3}$

[Joker_vD]

Чего тут помогать? Косинус ограничен, $ne^n$ нет.

[nevero]

Я понимаю ограниченную на бесконечно малую, но ограниченную на бесконечно большую - такого свойства нет...

[ewert]

Joker_vD в сообщении #371748 писал(а):

Косинус ограничен, $ne^n$ нет.

Косинус вовсе не ограничен (снизу), он вместе со степенью стремится к нулю экспоненциально, притом примерно так же, как растёт первая экспонента. Вот это и надо доказывать.

(Представьте степень косинуса как экспоненту и оцените получившийся в показателе логарифм по формуле Тейлора.)

[Joker_vD]

nevero в сообщении #371749 писал(а):

Я понимаю ограниченную на бесконечно малую, но ограниченную на бесконечно большую - такого свойства нет...

Ограниченная умножить на бесконечно большую есть бесконечно большая.

ewert в сообщении #371757 писал(а):

Косинус вовсе не ограничен (снизу)

Нулем он ограничен снизу. Но уважаемый ewert, $\lim\limits_{n \to \infty} \cos \frac{1}{n} = 1$.

[paha]

Joker_vD в сообщении #371766 писал(а):

Нулем он ограничен снизу. Но уважаемый ewert,

неопределенность $1^\infty$ может и нулем оказаться

[ewert]

Joker_vD в сообщении #371766 писал(а):

Ограниченная умножить на бесконечно большую есть бесконечно большая.

Ограниченная снизу положительным числом, а тут это не так.

[Joker_vD]

Ну вот, теперь все куда как яснее и понятнее. Да, наверное придется по Тейлору раскладывать.

[paha]

Joker_vD в сообщении #371777 писал(а):

Да, наверное придется по Тейлору раскладывать

ну, эквивалентности с о-малыми до Тэйлора проходят... фамилию эту не упоминая

[ewert]

paha в сообщении #371780 писал(а):

ну, эквивалентности с о-малыми до Тэйлора проходят...

До Тейлора там ничего разумного не выйдет. Ну разве что полопиталить ещё можно, но это неизящно.

(Проблема в том, что просто стандартные эквивалентности не дают квалифицированной оценки остатка, а тут она важна.)

[paha]

ewert
мне кажется, надо позаботиться лишь о том, что $\cos x=1-x^2/2+o(x^3)$, а это совсем несложно (и, вероятно, делается в нормальном курсе -- тем же Лопиталем)

впрочем, я анализ никогда не читал никому

[ewert]

paha в сообщении #371807 писал(а):

ewert
мне кажется, надо позаботиться лишь о том, что $\cos x=1-x^2/2+o(x^3)$, а это совсем несложно

Достаточно было бы даже и О-большого, но. Во-первых, нечто подобное нужно не только для косинуса, но и для логарифма. Во-вторых, это достаточно сложно, и заниматься такими штучками до Тейлора совершенно бессмысленно.

[paha]

ewert в сообщении #371810 писал(а):

Во-вторых, это достаточно сложно

Ну, вероятно, это задача "со звездочкой"

[Joker_vD]

paha в сообщении #371807 писал(а):

$\cos x=1-x^2/2+o(x^3)$

Разве не $\cos x=1-x^2/2+o(x^4)$?

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #371821 писал(а):

Ну, вероятно, это задача "со звездочкой"

Она и так достаточно со звёздочкой, если для нематематика, поскольку приходится подставлять одну формулу Тейлора в другую.

Ну хорошо. А как Вы представляете элементарное доказательство своей оценки? Или, что более-менее эквивалентно, $\sin x=x+O(x^2)$?...

И в любом случае такой подход к этой задаче методически неверен. Ибо её идейная суть тонет в никому не нужном наколенном выводе тех же формул Тейлора.

Joker_vD в сообщении #371826 писал(а):

paha в сообщении #371807 писал(а):

$\cos x=1-x^2/2+o(x^3)$

Разве не $\cos x=1-x^2/2+o(x^4)$?

Во-первых, вариант paha формально следует из Вашего. Во-вторых, Ваш вариант неверен: буковка "о" слишком мала.