ортонормированные системы и базисы

[Алина:)]

Было определение-если ортогональная(ортонормированная) системы $\left\{x_\alpha\right\}$полна, то она она является базисом в евклидовом пространстве.
Подскажите, пожалуйста, контрпример этого. Например, в пространстве непрерывных функций на отрезке(скалярное произведение L_2. (f,g)=\int_{a}^{b} f(x)*g(x) dx$) полную ортонормированную система, не являющуюся базисом.

[ewert]

Алина:) в сообщении #371603 писал(а):

полную ортонормированную система, не являющуюся базисом.

Это невозможно. Хотя, конечно, невозможно и предугадать, что в точности в вашем курсе называлось "полнотой системы" и что "базисом".

[Joker_vD]

Алина:) в сообщении #371603 писал(а):

Было определение-если ортогональная(ортонормированная) системы полна, то она она является базисом в евклидовом пространстве.Подскажите, пожалуйста, контрпример этого.

Контрпример к определению?

[Алина:)]

Но ведь$C_2([a,b])$-пр-во с квадратично (евклидовой метрикой) \rho(x.y)=(\int_{a}^{b} (x(t)-y(t))^2 dx)^\frac 1 2
-не является полным. А евклидово пространство полное

[ewert]

Приведите точные формулировки. Что в точности в вашем конкретно курсе называлось полнотой системы и что в точности -- базисом. Тут в терминологии достаточно большой разнобой встречается.

(Да, на всякий случай -- может, проблемы именно из-за этого. Полнота ортонормированной системы не имеет формального отношения к полноте самого пространства -- это созвучие чисто случайно.)

[Алина:)]

В пространстве H дана ортонормированная система $\left\{e_i\}\right. Она полная, если не существует $x\in H, ортогонального всем элементам системы и не равного 0.
ОНС называется ортонормированным базисом, если для любого x\in H=\sum_{\alpha} <x,e_{\alpha}> e_{\alpha}.