Определение открытого интервала.

[Виктор Викторов]

Существует пять типов открытых интервалов:
1. $(d, g)$
2. $(-\infty, d)$
3. $(g, +\infty)$
4. $(-\infty, +\infty)$
5. Пустое множество.

Предлагаю для всех пяти типов открытых интервалов единое определение.

Определение. Множество $I$ вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда множество $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ, и, для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) принадлежащих $I$, множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

Если кто найдет ошибку, то буду весьма благодарен.

[maxmatem]

Да с виду всё нормально. Это ваше определение или из Бурбаки? Кстати, а стоит ли определение давать в виде критерия?

[caxap]

Множество $I$ называется открытым, если для любой его точки найдётся окрестность $U\subset I$. Не?

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):

Определение. Множество $I$ вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда множество $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ, и для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

($j,k\in I$, надеюсь (или хотя бы равны супремуму/инфимуму)?) А если между $j$ и $k$ в множестве ещё есть "пробелы" ($(a,b)\cup (c,d)$)? Или вы только рассматриваете указанные пять случаев?

[maxmatem]

Цитата:

А если между $j$ и $k$ в множестве ещё есть "пробелы"?

а разве там могут быть пробелы? если мы ограничиваемся теми пятью случаями.

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #371470 писал(а):

А если между $j$ и $k$ в множестве ещё есть "пробелы" ($(a,b)\cup (c,d)$)?

$(a,b)\cup (c,d)$ - открытое множество, но множество $(a,b)\cup (c,d)$ не является открытым интервалом. Конечно, если $b\leqslant c$.

-- Сб ноя 06, 2010 11:29:22 --

maxmatem в сообщении #371468 писал(а):

Это ваше определение или из Бурбаки?

Не помню. У Бурбаки в "Теории множеств" на странице 161-162 рассматриваются все виды интервалов для любых упорядоченных множеств. Но там разбивка на несколько определений. Если найдете у Бурбаки (или у кого-нибудь другого), сообщите, пожалуйста.

maxmatem в сообщении #371468 писал(а):

Кстати, а стоит ли определение давать в виде критерия?

Мне нужно определение открытого интервала с единой точки зрения (связное множество и все точки внутренние).

-- Сб ноя 06, 2010 12:00:10 --

caxap в сообщении #371470 писал(а):

Множество $I$ называется открытым, если для любой его точки найдётся окрестность $U\subset I$. Не?

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):

Определение. Множество $I$ вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда множество $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ, и для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

($j,k\in I$, надеюсь (или хотя бы равны супремуму/инфимуму)?)

А вот тут схвачено верно. caxap! Спасибо. Исправил. Теперь звучит так:

Определение. Множество $I$ вещественных чисел называется открытым интервалом, тогда и только тогда, когда множество $I$ не содержит своих точной нижней и точной верхней границ, и, для каждых двух различных вещественных чисел ($j<k$) принадлежащих $I$, множество $I$ содержит все такие $x$, что $j<x<k$.

$j,k\in I$, но никогда не равны супремуму/инфимуму. Ведь "не содержит своих точной нижней и точной верхней границ".

[Cave]

В чем преимущество перед интервалом как $\{x\in\mathbb{R}: a < x < b\}$ для некоторых $a,b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ с введённым естественным порядком на пополненной вещественной прямой?

[Виктор Викторов]

Cave в сообщении #371497 писал(а):

В чем преимущество перед интервалом как $\{x\in\mathbb{R}: a < x < b\}$ для некоторых $a,b\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ с введённым естественным порядком на пополненной вещественной прямой?

Я хочу рассматривать множество вещественных чисел как топологическое пространство и иметь определение открытого интервала с единой точки зрения (связное множество и все точки внутренние). И в Ваше определение вмещаются все открытые интервалы, но Вы рассматриваете другое пространство.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):

Предлагаю для всех пяти типов открытых интервалов единое определение.

А в чём польза такого определения для сельского хозяйства?...

Виктор Викторов в сообщении #371501 писал(а):

Я хочу рассматривать множество вещественных чисел как топологическое пространство и иметь определение открытого интервала с единой точки зрения (связное множество и все точки внутренние).

А зачем?... Когда вполне достаточно определить просто интервал -- и формально доказать, что он именно открыт. Включение в число интервалов пустого множества выглядит с практической точки зрения вполне бесполезным.

[moscwicz]

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):

Предлагаю для всех пяти типов открытых интервалов единое определение.

а это зачем? когда все прозрачно:

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):

Существует пять типов открытых интервалов:
1. $(d, g)$
2. $(-\infty, d)$
3. $(g, +\infty)$
4. $(-\infty, +\infty)$
5. Пустое множество.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #371521 писал(а):

Включение в число интервалов пустого множества выглядит с практической точки зрения вполне бесполезным.

Пустое множество - открытое множество - открытый интервал. И у Бурбаки именно так. И почему нужно приписывать для открытого интервала $(a, b)$ $a\neq b$ мне понять не дано.

ewert в сообщении #371521 писал(а):

Когда вполне достаточно определить просто интервал -- и формально доказать, что он именно открыт.

Мне кажется, что сначала вводим открытый интервал. Исследуем его свойства. И только после этого определяем открытое множество как объединение открытых интервалов. (Разговор, конечно, говорим в множестве вещественных чисел). Поэтому я не понимаю, что значит "формально доказать, что он именно открыт".

ewert в сообщении #371521 писал(а):

А в чём польза такого определения для сельского хозяйства?...

ewert в сообщении #371521 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371501 писал(а):

Я хочу рассматривать множество вещественных чисел как топологическое пространство и иметь определение открытого интервала с единой точки зрения (связное множество и все точки внутренние).

А зачем?... Когда вполне достаточно определить просто интервал -- и формально доказать, что он именно открыт. Включение в число интервалов пустого множества выглядит с практической точки зрения вполне бесполезным.

moscwicz в сообщении #371530 писал(а):

а это зачем? когда все прозрачно:

Виктор Викторов в сообщении #371462 писал(а):

Существует пять типов открытых интервалов:
1. $(d, g)$
2. $(-\infty, d)$
3. $(g, +\infty)$
4. $(-\infty, +\infty)$
5. Пустое множество.

Из открытых интервалов в множестве вещественных чисел строят открытые множества. А открытых интервалов пять типов. Я хочу видеть, что за "кирпичи" я использую. Я хочу знать почему эти различные типы родственники (связное множество и все точки внутренние). И опять же посмотреть на них с единой точки зрения.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #371572 писал(а):

Из открытых интервалов в множестве вещественных чисел строят открытые множества.

Да вовсе всё наоборот. Открытые множества разлагают на интервалы. Ну вот есть такое чудо в одномерном случае, оказывается -- что некий общий объект можно разложить на некие простейшие.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #371576 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371572 писал(а):

Из открытых интервалов в множестве вещественных чисел строят открытые множества.

Да вовсе всё наоборот. Открытые множества разлагают на интервалы. Ну вот есть такое чудо в одномерном случае, оказывается -- что некий общий объект можно разложить на некие простейшие.

Дайте, пожалуйста, определение открытого множества на прямой. Я знаю только одно определение. Определение: Подмножество множества вещественных чисел открыто тогда и только тогда, когда оно является объединением открытых интервалов.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #371584 писал(а):

Дайте, пожалуйста, определение открытого множества на прямой.

Уже давно дадено -- часа четыре тому назад:

caxap в сообщении #371470 писал(а):

Множество $I$ называется открытым, если для любой его точки найдётся окрестность $U\subset I$.

Где под "окрестностью" понимается просто симметричный интервал.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #371593 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #371584 писал(а):

Дайте, пожалуйста, определение открытого множества на прямой.

Уже давно дадено -- часа четыре тому назад:

caxap в сообщении #371470 писал(а):

Множество $I$ называется открытым, если для любой его точки найдётся окрестность $U\subset I$.

Где под "окрестностью" понимается просто симметричный интервал.

А это что за зверь "симметричный интервал"?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #371597 писал(а):

А это что за зверь "симметричный интервал"?

Он самый -- задаваемый стандартной метрикой.

Вы ж всё равно собираетесь рассматривать именно стандартную топологию (задаваемую, в конечном счёте, именно метрикой). Так чего ж и воду в ступе толочь?