характеристическая функция распределения Коши

[wadzim]

Подскажите пожалуйста в двух словах как найти характеристическую функцию случайной величины имеющей распределение Коши.

[Capella]

Характеристическая функция является преобразованием Фурье функции плотности, которая связана в свою очередь с функцией распределения через интеграл (надо проинтегрировать фунцию плотности, чтобы получить распределение).

Хараактеристическая функция для Коши:

$$\phi_{X}(t) = \frac 1 \pi \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac 1 { 1 + x^2} e^{itx} dx = e^{-|t|}$$

$\frac 1 \pi$ в начале интеграла константа от функции.

Совет для общего случая: если хф должна существовать, то должна существовать и функция распределния.

[wadzim]

Но у меня проблема в том, чтобы это показать, т.е. мне надо этот интеграл посчитать.

[Capella]

Разложите

$$e^{itx}$$

по косинусу и синусу. Потом посмотрите, не может-ли какая-то часть у Вас сразу сократиться (подсказка: определите, какой является Ваша функция плотности - чётной или не чётной) и дальше интегрируете уже хотя-бы по частям или заменой переменой.

[wadzim]

Спасибо.

[Brukvalub]

Capella писал(а):

Разложите

$$e^{itx}$$

по косинусу и синусу. Потом посмотрите, не может-ли какая-то часть у Вас сразу сократиться (подсказка: определите, какой является Ваша функция плотности - чётной или не чётной) и дальше интегрируете уже хотя-бы по частям или заменой переменой.

Удачная шутка.
После разложения комплексной экспоненты получится знаменитый интеграл Лапласа, взять по частям или заменой переменной его вряд ли получится (во всяком случае, я за 25 последних лет не видел ни одной такой удачной попытки). Обычно помогает интегрирование по параметру (задача № 3825 из задачника Б.П.Демидовича), или применение вычетов .

[RIP]

Brukvalub писал(а):

или применение вычетов .

См., например, здесь:
Шабат Б.В. — Введение в комплексный анализ, стр.132.

[Capella]

Brukvalub

Согласна , мне сначала показалась, что можно сделать подстановку $tg \frac x 2 = t$ заменив соответсвенно $sin x = \frac {2t}{1+ t^2}, \phantom{0} cos x = \frac {1 - t^2}{1+ t^2}, \phantom{0} dx = \frac {2dt} {1+t^2}$ Мне показалось, что можно очень хорошо сократить и привести к простому виду - к сожалению вообще не сокращается.

RIP

Или вот здесь, хороший задачник по комплексной переменной

[ilia44]

Сначала найдите характеристическую функцию двустороннего показательного распределения . А потом воспользуйтесь теоремой о обращении плотности.

[mihailm]

(Оффтоп)

Ну теперь wadzim наконец-то заснет спокойно - 7 лет ждал

[Deggial]

ilia44, замечание за некропостинг. Обращайте внимание на дату сообщений.