Существуют системы с несвязным множеством значений энергии?

[Bulinator]

Привет всем,

у меня возник вопрос(чисто академический). Кто-нибудь слышал/знает (а в идеале может нарисовать) вменяемый Лагранжиан/Гамильтониан какой-нибудь системы, множество возможных значений энергии которого несвязно.

Заранее спасибо.

[nestoklon]

А гамильтониан частицы в кулоновском поле чем не устраивает?
Если вы хотите исключительно континуум, то возьмите любой простейший гамильтониан с зонами -- например электрон в приближении слабой или сильной связи. Сами гуглом найдёте?

[Bulinator]

nestoklon в сообщении #370352 писал(а):

А гамильтониан частицы в кулоновском поле чем не устраивает?

У него же область значений $(-\infty,\infty)$.

nestoklon в сообщении #370352 писал(а):

Если вы хотите исключительно континуум, то возьмите любой простейший гамильтониан с зонами -- например электрон в приближении слабой или сильной связи.

Про континуум не понял.

По простому: нужен пример одночастичного классического Гамильтониана, который, в зависимости от начальных условий может иметь значения скажем от нуля до 1 и от 2 до бесконечности. Т.е. значения от 1 до 2 по каким-то причинам невозможны. Если этот Гамильтониан окажется еще и одномерным, будет вообще супер!

[myhand]

Bulinator в сообщении #370410 писал(а):

По простому: нужен пример одночастичного классического Гамильтониана, который, в зависимости от начальных условий может иметь значения скажем от нуля до 1 и от 2 до бесконечности. Т.е. значения от 1 до 2 по каким-то причинам невозможны. Если этот Гамильтониан окажется еще и одномерным, будет вообще супер!

Ну а в чем проблема? Привести пример одномерной функции с такими свойствами Вы в состоянии?

$$f(x) = \left\{\begin{array}{lll}x,\;x \in [0,1)\\ 2 x,\;x \in (1,\infty)\end{array}\right.\eqno{(1)}$$

Запрашиваемый Вами одномерный гамильтониан получаем тривиально:

$$H(p,q) = f(p^2 + q^2)\eqno{(2)}$$

Уж не знаю, насколько он "вменяем" в нужных Вам попугаях.

[Munin]

Так вы про классику, это стоило сразу сказать.

Боюсь, нельзя, причём это можно доказать. Либо вы ослабляете ограничения на вменяемость, и тогда можно нарисовать какое-нибудь несвязное фазовое пространство, один из кусков которого ограничен по возрастанию импульсов (и ограничен вообще). Это будет нечто мысленное.

-- 05.11.2010 15:47:12 --

P. S. А, вот, myhand и нарисовал.

[Bulinator]

myhand в сообщении #370437 писал(а):

Уж не знаю, насколько он "вменяем" в нужных Вам попугаях.

Munin в сообщении #370444 писал(а):

P. S. А, вот, myhand и нарисовал.

Вообще-то говоря вменяемый, я имел ввиду какой-нибудь хитрым образом устроенный. Ну во всяком случае не так прямо.
Вобщем, критерий вменяемости определить не могу.

Munin в сообщении #370444 писал(а):

Боюсь, нельзя, причём это можно доказать.

А как?

[nestoklon]

Bulinator в сообщении #370410 писал(а):

У него же область значений $(-\infty,\infty)$.

Вы классический гамильтониан хотите что ли? Так так бы и писали.
Цепочка связанных осцилляторов вам тоже по каким-то причинам не подходит? А то я не до конца понимаю, что значит "одночастичный" для классики. Волны казалось бы вещь вполне классическая. С другой стороны, это прилагательное может означать фиксированную форму оператора кинетической энергии. В последнем случае видимо совсем никак.

[Munin]

Bulinator в сообщении #370447 писал(а):

А как?

Если "вменяемый" - это что-то, изготавливаемое как механическая система, то оно всегда будет иметь лагранжиан, и видимо, из одного этого, или из стандартного вида лагранжиана, получается, что импульсы при любых значениях координат могут иметь произвольно большие значения, и соответственно с ними неограниченно растёт энергия. Так что энергетический спектр такой системы будет состоять из одного или нескольких лучей $[e_{0i},+\infty),$ возможно, объединяющихся при высоких энергиях, но в любом случае не ограниченных сверху. Возможно, слово "доказать" здесь слишком сильное, выглядит так, что мы подбираем условия под результат, но по крайней мере таково моё понимание вменяемости, которое вы не конкретизовали (myhand не зря говорит о ваших личных попугаях).

[myhand]

Bulinator в сообщении #370447 писал(а):

А как?

Ну как... Матанализ, первый курс - функции многих переменных.

Идею Вам объяснил Munin. У Вас есть скалярная функция $f(x,y)$ двух переменных. Если Вы хотите ее сделать неприрывной на линейно связном множестве - то Вам придется смириться со связностью образа этого множества, т.е. значения $f(x,y)$ пробегают некоторый интервал (в частных случаях - верхняя/нижняя грани могут быть бесконечностями). Теорема Больцано-Коши.

Т.е. то, что Вы хотите - достижимо только если Вы рассматриваете несвязное фазовое пространство (в примере я выкинул множество $p^2+q^2=1$).

[Bulinator]

nestoklon в сообщении #370448 писал(а):

Вы классический гамильтониан хотите что ли? Так так бы и писали.

Munin в сообщении #370444 писал(а):

Так вы про классику, это стоило сразу сказать.

nestoklon в сообщении #370448 писал(а):

Цепочка связанных осцилляторов вам тоже по каким-то причинам не подходит?

А енто что?

nestoklon в сообщении #370448 писал(а):

А то я не до конца понимаю, что значит "одночастичный" для классики.

Ну который описывает одну частицу.

nestoklon в сообщении #370448 писал(а):

С другой стороны, это прилагательное может означать фиксированную форму оператора кинетической энергии.

Да не. Классичекскую систему понимаем в смысле Арнольда: имеем симплектическое многообразиа M на которой задана какая-нибудь функция H. И все.

Расскажу откуда возник вопрос.
Мысленно перебирал теорему Лиувилля. Дошел до момента, где "если поверхность уровня компактна и связна, то она диффеоморфна n-мерному тору"

(Оффтоп)

Поверхностью уровня называется множество точек фазового пространства которое получается если зафиксировать Гамильтониан и интегралы движения.

Насчет компактности контрпример привести просто. Возьмем 2 отталкивающихся заряда или падающую на центр частицу в потенциале $\frac{1}{r^{10000000}}$. А вот как насчет связности?

-- Пт ноя 05, 2010 16:36:02 --

Сории!! Блин. Чет я второй день туплю. Связное должно быть фазовое пространство а не значения энергии. Вопрос снят!

[Munin]

Bulinator в сообщении #370455 писал(а):

Да не. Классичекскую систему понимаем в смысле Арнольда: имеем симплектическое многообразиа M на которой задана какая-нибудь функция H. И все.

Тогда никто не мешает вам иметь неодносвязное многообразие, одна из компонент связности которой имеет ограниченную функцию $H.$ И всё.

Пример: вырезаем на плоскости круг $p^2+q^2\equiv r^2\in[a^2,b^2],$ и отождествляем его внешний и внутренний край, по точкам, лежащим на одном радиусе. Задаём на нём функцию $H$ вида $H(r)=\bigl\lvert r-(a+b)/2\bigr\rvert.$ Условия удовлетворены, $H\in[0,(b-a)/2],$ и даже непрерывна. К этой компоненте связности добавляете другие с непересекающимся диапазоном энергий.

[Bulinator]

Munin в сообщении #370484 писал(а):

Пример: вырезаем на плоскости круг $p^2+q^2\equiv r^2\in[a^2,b^2],$ и отождествляем его внешний и внутренний край, по точкам, лежащим на одном радиусе. Задаём на нём функцию $H$ вида $H(r)=\bigl\lvert r-(a+b)/2\bigr\rvert.$ Условия удовлетворены, $H\in[0,(b-a)/2],$ и даже непрерывна. К этой компоненте связности добавляете другие с непересекающимся диапазоном энергий.

Не давите интелектом

Где здесь симплектическая 2-форма? У вас H- функция одной переменной. Или в этом потоке непонятных мне терминов типа "компонента связности", "внешний край круга" я что-то просмотрел?

[myhand]

Bulinator в сообщении #370577 писал(а):

Где здесь симплектическая 2-форма?

Ровно там же, где в предложенном мной выше примере (2). Она абсолютно такая же как для простого гармонического осциллятора $H=p^2/2+q^2/2$ :) (Кстати, какая она для этого случая? Подозреваю у Вас магические представления о том).

Bulinator в сообщении #370577 писал(а):

У вас H- функция одной переменной.

Двух. $p$ и $q$ - смотрите внимательнее. Равно как и в предложенном выше примере (2)

Bulinator в сообщении #370577 писал(а):

Или в этом потоке непонятных мне терминов типа "компонента связности", "внешний край круга" я что-то просмотрел?

Вам более простой пример (2) понятен? Понятны аргументы вот этого поста? Если нет - попробуйте разобраться сперва в математике. Как уже сказано - тема уровня первого курса. Какой-нибудь учебник матанализа типа Ильина&Поздняка - вполне заполнит пробелы.

[Bulinator]

myhand в сообщении #370587 писал(а):

Кстати, какая она для этого случая? Подозреваю у Вас магические представления о том

А вот это уже обидно! $dp\wedge dq$. Я имел ввиду что для того чтобы иметь мех систему пространство дожно быть четномерным.
Вы сделали обозначния $r^2=p^2+q^2$. Мне показалось, вернее я спутал r с координатой.

myhand в сообщении #370587 писал(а):

Если нет - попробуйте разобраться сперва в математике. Как уже сказано - тема уровня первого курса. Какой-нибудь учебник матанализа типа Ильина&Поздняка - вполне заполнит пробелы.

Блин, я же уже извинился, объяснил в чем дело, сказал что вопрос снят. Зачем так наезжать то?

[myhand]

Bulinator в сообщении #370623 писал(а):

$dp\wedge dq$

Ну вот видите, все-то было Вам понятно, оказывается.

Bulinator в сообщении #370623 писал(а):

Вы сделали обозначния $r^2=p^2+q^2$

Не я.

Bulinator в сообщении #370623 писал(а):

myhand в сообщении #370587 писал(а):

Если нет - попробуйте разобраться сперва в математике. Как уже сказано - тема уровня первого курса. Какой-нибудь учебник матанализа типа Ильина&Поздняка - вполне заполнит пробелы.

Блин, я же уже извинился, объяснил в чем дело, сказал что вопрос снят. Зачем так наезжать то?

Никто Вас не собирался оскорблять. Показалось, что остались вопросы. Вам дали ответы.

(Оффтоп)

Выбирайте выражения, кстати. Здесь не тусовка "новых русских" с "блинами", "разборками" и "наездами", а научный форум. Не всем участникам, ИМХО - будет приятна подобная лексика.