Оператор совпадения двух частиц?

[Dims]

Допустим, в одномерной потенциальной яме с бесконечно-высокими стенками (простирающейся от 0 до 1) находятся две невзаимодействующие частицы (бозоны).

Их состояние описывается функцией F(x,y), где x -- координата первой частицы, а y -- второй.

Как можно записать оператор физической величины, который отвечает на вопрос, близкий к вопросу "совпадают ли координаты частиц"?

Допустим, если, для строгости, мы определим искомую величину как-то так

$10 e^{-50 (x-y)^2}$

то будет ли и оператор этой величины определяться этой же формулой?

Не будет ли само собственное значение этой величины связано с этой формулой? Ведь если нормировать этот холмик, то получится, как раз, плотность вероятности в собственном состоянии?

Есть ли какой-то общий смысл у величин, операторы которых выражаются формулами

$|F_0|^2$

то есть, выражениями для плотности вероятности в некоем состоянии?

Спасибо.

[Munin]

Dims в сообщении #370107 писал(а):

Допустим, в одномерной потенциальной яме с бесконечно-высокими стенками (простирающейся от 0 до 1) находятся две невзаимодействующие частицы (бозоны).

Что означает уточнение, что они бозоны? Они между собой тождественны, с симметричным правилом перестановки, или что-то иное?

Dims в сообщении #370107 писал(а):

Как можно записать оператор физической величины, который отвечает на вопрос, близкий к вопросу "совпадают ли координаты частиц"?

Чем вас $\delta(x-y)$ не устраивает?

Dims в сообщении #370107 писал(а):

Не будет ли само собственное значение этой величины связано с этой формулой? Ведь если нормировать этот холмик, то получится, как раз, плотность вероятности в собственном состоянии?

Если $c(x,y)\psi(x,y)=\lambda\psi(x,y),$ то $c(x,y)=\lambda$ или $\psi(x,y)=0.$

[Himfizik]

Dims в сообщении #370107 писал(а):

...то будет ли и оператор этой величины определяться этой же формулой?

\

Оператор координаты (ровно как и функции от координаты) действует на волновую функцию, просто умножаясь на нее, при условии, что мы находимся в пространстве координат.
Ну и конечно, справедливо замечено Munin-ым: $L \psi=\lambda \psi$.

[Himfizik]

А почему такая сложная функция от $x,y$?

[alien308]

Что такое координаты частиц у вас? Если это, как принято, среднее значение оператора координаты, то ответ будет: $X\psi - Y\psi$, X и Y операторы координаты первой и второй частицы. Бозоны или нет к оператору не относится - это свойство волновой функции. Но это не есть проверка на совпадение частиц - что они находятся в одном и том же состоянии. Чтобы проверить нахождение частиц в одном и том же состоянии надо на волновую функцию частиц подействовать оператором числа частиц в искомом состоянии. Если волновая функция является собственным вектором с собственным значением 2, то ответ положительный.

[Dims]

В качестве функции совпадения я взял обычную формулу Гаусса при сигма = 0.1
В пределе при сигма стремящемся к нулю она, как известно, переходит в дельта-функцию. Мне нужно просто чтобы можно было вычислить в компьютерной модели, поэтому дельта-функция не подходила.

Естественно, разность не совсем подходит для функции совпадения, потому что она даёт ноль при совпадении.

Да, про "бозон" я ляпнул, видимо, зря, имелось в виду, что частицам не запрещено находиться в одной точке.

[Munin]

Dims в сообщении #370353 писал(а):

Мне нужно просто чтобы можно было вычислить в компьютерной модели, поэтому дельта-функция не подходила.

Я думаю, в такой ситуации нужно изобретать аналог дельта-функции, специфический для данной компьютерной модели, поэтому нужно разбираться в подробностях её устройства. Например, в конечно-разностных моделях можно сделать функцию в виде пика ширины $h.$ Или, если модель в вашей власти, её можно усложнить, позволив моделировать в конечном счёте и операторы типа дельта-функции.