ЛНДУ второго порядка

[Sate]

помогите решить
$y''-6y'+9=\sin(3x)$
в характеристическом уравнении ЛОДУ 3 - корень кратности 2, следовательно ищу частное решение ЛНДУ в виде
$x^2(A\cos(3x)+B\sin(3x))$
но после взятия производных 1 и 2 порядка от этого выражения, и подстановки в уравнение ничего взаимно не уничтожается..
как быть?

[ИСН]

Ещё раз, медленно: какой корень? А какой общий вид решения?

[Sate]

3 - двукратный корень характеристического уравнения ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ
$z^2-6z+9=0$ (это полный квадрат)
общее решение ЛОДУ равно
$y_{00}=(C_1+C_2x)e^{3x}$

[ИСН]

Ну вот видите: совсем другое дело.
Теперь надо как-то учесть правую часть.

[Sate]

а в какой форме искать частное решение ЛНДУ?

[ИСН]

В такой же, в какой к нам пришла неоднородность: синусы с косинусами.

[Joker_vD]

А еще можно варьировать постоянные.

[Sate]

в форме $A\cos(3x)+B\sin(3x)$ или же $x^2(A\cos(3x)+B\sin(3x))$ ?

[ИСН]

Можете поискать в обеих, а потом задаться вопросом, откуда у Вас взялась одна из них (та, которая неправильная).

[Sate]

хм..в форме $A\cos(3x)+B\sin(3x)$ решение находится..
но по идее ж надо искать в форме $x^2(A\cos(3x)+B\sin(3x))$ так как корень двукратный..
или так надо было бы считать при ЛНДУ вроде $y''+9y=\sin(3x)$, где корни ЛОДУ мнимые и в общем решении вылазят синус с косинусом?

[ИСН]

Именно так (то, что после "или"). Только там был бы не просто $x^2$, а какой-то неизвестный квадратный трёхчлен.

-- Пт, 2010-11-05, 01:56 --

Стоп, не так. Так было бы при совпадении трёх...
...впрочем, плевать. Проехали. Не наш случай.

[Sate]

а не просто ли $x$, так как там корни всё равно сопряженные..
ну да ладно..
спасибо Вам большое, что толкнули в нужном направлении :)

[ewert]

Sate в сообщении #370303 писал(а):

так как корень двукратный..

Корень-то двукратный. А вот есть ли резонанс-то?...