градусы и радианы.

[PreVory]

Была задачка по матанализу: вычислить $\sin {1^\circ}$ с точностью до $10^{-3}$ с помощью разложения в ряд Тейлора. Написали ряд для синуса, подставили туда $\frac {\Pi} {180}$ и благополучно посчитали.
Однако после у преподавателя возник вопрос: почему вы подставили вместо аргумента не $1$, а $\frac {\Pi} {180}$. Я конечно сказал, что $1^\circ=\frac {\Pi} {180}$ и поэтому мы подставляем этот угол.
Итак, вопрос: почему разложение в ряд Тейлора $\sin$ именно для углов, заданных в радианах, а не градусах (или это не верно)?
Если смотреть по определению ряда Тейлора, то, вроде, для углов, заданных в градусах, она получается такой же (при разложении в $0$). Однако они не могут быть таковыми, иначе $\sin 1^\circ=\sin 1$, что разумеется не верно.

[AlexandreII]

Ряд Тейлора для синуса получается из производной для синуса, а она в свою очередь из доказательства первого замечательного предела, так вот там существенно, что аргумент синуса - радианы. С градусами первый замечательный предел имеет другое значение.

[PreVory]

И правда другое, спасибо

[bot]

Как это другое?

$\lim\limits_{x^\circ \to 0^\circ}\frac{\sin x^\circ}{x^\circ}=1=\lim\limits_{x\% \to 0\%}\frac{\sin x\%}{x\%}$

[ewert]

bot в сообщении #368728 писал(а):

$\lim\limits_{x^\circ \to 0^\circ}\frac{\sin x^\circ}{x^\circ}=1$

Т.е. $\sin 1^\circ\approx 1^\circ$, да?...

[bot]

Естественно.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #368731 писал(а):

Т.е. $\sin 1^\circ\approx 1^\circ$, да?...

bot в сообщении #370066 писал(а):

Естественно.

Кому естественно, а мне нет. А $\sin 2^\circ\approx 2^\circ$?

[bot]

Похуже, но приемлимо.

[Виктор Викторов]

bot в сообщении #370077 писал(а):

Похуже, но приемлимо.

Сделаем как лучше. $\sin 1^\circ1'\approx 1^\circ1'$. Что это значит? Мне кто-то рассказывал, что синус всегда меньше или равен единице.
Мне до сих пор казалось, что значение синуса вещественное число. А у Вас синус в градусах.

[bot]

А 1 градус - тоже вещественное число: $1^\circ=\frac{\pi}{180}$

[Виктор Викторов]

bot в сообщении #370108 писал(а):

А 1 градус - тоже вещественное число: $1^\circ=\frac{\pi}{180}$

У Вас получилось $1^\circ=0.017444$. Может пойдем дальше и объявим, что $1=0.017444$? Мне до сих пор казалось, что $1^\circ$ эквивалентен $\frac{\pi}{180}$ радиан.

[bot]

Виктор Викторов в сообщении #370116 писал(а):

Может пойдем дальше и объявим, что $1=0.017444$?

С какой стати?

А эквивалентен - это как?

[Joker_vD]

bot в сообщении #370108 писал(а):

А 1 градус - тоже вещественное число

Вообще-то градус — это единица измерения, так что у вас просто размерности не сходятся.

[Null]

Размерность градуса 1, т.е. безразмерная величина.

[ewert]

bot в сообщении #370142 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #370116 писал(а):

Может пойдем дальше и объявим, что $1=0.017444$?

С какой стати?

А с такой, что это ж Вы сказали, что градус равен радиану. Нелепо, конечно, но даже и таких нелепостей допускать всё-таки нежелательно.