Implied Volatility

[ILYA_First]

Всем здравствуйте.
Я читал статью "Computing the Implied Volatility in Stochastic Volatility Models" (http://www.cmap.polytechnique.fr/~rama/dea/bbf2.pdf), и у меня возник вопрос. Автор на странице 1371 утверждает, что $\Sigma ^1$ должна удовлетворять транспортному уравнению. Уважаемые участники форума, может мне кто нибудь подсказать, как получилось это транспортное уравнение?

[age]

ILYA_First
А почему уравнение названо "транспортным"? Простите, у меня нелады с английским.

-- Чт ноя 04, 2010 19:18:40 --

Насколько я понял, транспортное уравнение - это дополнительное ограничение на волатильность, а $x$ и $y$ - это простите, активы или факторы?

[ILYA_First]

Ну, насколько я понял, оно именно так переводится:)
transport equetion
может я не прав?
Но меня то интересует, откуда оно береться. Автор пишет, что это несложно видеть. Но я так и не смог понять, каким образом он его получил...

[Хорхе]

По идее, подставили (6.8) в (1.9). Я не пробовал, но нутром чую, что нечто именно такое и получится (иначе откуда $\Sigma_0$ в знаменателе?)

[ILYA_First]

Да, но тогда откуда в (6.9) появляется $d$ и $d_x$?

[age]

ILYA_First
Насколько я понял $d$ - это "геодезическое расстояние", которое раскладывается по осям факторам $y$ и $x$.
Обратите внимание на систему 6.2, дающую величину $d$. Вот по-моему, оттуда и берется. И еще учтите что Вам Хорхе подсказал про 1.9.
В общем, из-за плохого английского я все 20 страниц не читал, лишь выборочно. В сущности, речь идет о модели Блэка-Шоулза, определяющей рыночные параметры (в том числе и будущую цену актива) через его волатильность (в частности это относится к опционам).
Волатильность задается вероятностными характеристиками, имеющими различные законы распределения (в частности, в Вашей статье я узрел лог-нормальное). В п.6 берутся двухфакторные $(x,y)$ модели.
Каждому фактору дается одно измерение на плоскости. $\tau$ - временной лаг.
И еще ваше транспортное уравнение 6.9 мне очень напоминает уравнение ковариации двух случайных величин. Хотя это не совсем оно.

-- Пт ноя 05, 2010 02:36:54 --

А вообще, раз уж вы такие сложные модели тем более на английском языке рассматриваете, хоть бы выписали ради приличия значения буковок:
$\kappa, \tau, \sigma, \Sigma, d$ - ведь Вы то уже подольше нас разбирались, и так будет легче понять уравнение, чем заново искать каждую буковку и что она означает?

[ILYA_First]

age
Вы правы, $d$ - это геодезиеское расстояние. И из системы (6.2) мы его можем найти. Вопрос-то мой заключается в том, что если сделать так, как советует Хорхе, то есть подставить в (1.9), то не совсем понятно, откуда в формуле возьмуться таки величины как $d, d_x,$ и $d_y$ (именно в этой формуле). Ведь слева в (1.9) стоит $\tau$ и $\Sigma$, а справа - величины, в которых тоже нет $d$.

[age]

$d_x$ и $d_y$ - насколько я понял, это уже разбивка $d$ по факторам $x$ и $y$. Модель-то двухфакторная.

-- Пт ноя 05, 2010 18:18:19 --

$\tau$ - это $\Delta t$, $\Sigma$ - функция волатильности.

[ILYA_First]

age, Вы правы.

age в сообщении #370536 писал(а):

$d_x$ и $d_y$ - насколько я понял, это уже разбивка $d$ по факторам $x$ и $y$. Модель-то двухфакторная.

-- Пт ноя 05, 2010 18:18:19 --

$\tau$ - это $\Delta t$, $\Sigma$ - функция волатильности.

Но откуда может в формуле появляется $d$?