Индукция? Индукция!

[Xenia1996]

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, ни одна цифра которых не равна 0, и которые делятся на сумму своих цифр.

Источник задачи: Канадская Математическая Олимпиада, 1984-й год.

(Что-то Маркиза Ксю давно с Баронессой Индукцией не общалась)

12 делится на сумму своих цифр. Предположим, что $n$ делится на сумму своих цифр и в частном имеем $m$. То бишь $n/S(n)=m$. Напишем число $n$ $m$ раз кряду. В полученном числе сумма цифр будет $n$, и это число будет делиться на $n$, поскольку состоит из одних "энок".

Знаю, что это - не совсем индукция, но что-то типа того. Зато как красиво! Всё-таки, по натуре я - художница.

Вот смотрите: 12 делится на 3, 12121212 делится на 12, 12121212...12121212 (1010101 раз) делится на 12121212, и т.д.

Жду конструктивной критики, как бабушка - пенсии. Заранее благодарна!

[Xenia1996]

(Оффтоп)

Вот теперь я понимаю, почему не все бабушки пенсии дожидаются

[paha]

если от десятичной системы перейти к двоичной, то нужно будет искать натуральные $n$, делящие $2^n-1$:)

[Xenia1996]

paha в сообщении #370047 писал(а):

если от десятичной системы перейти к двоичной, то нужно будет искать натуральные $n$, делящие $2^n-1$:)

А как в этом случае избавиться от нулей в десятичной системе? Или Вы меняете условие на "не содержит нулей в двоичной записи"?

(А у меня ошибку нашли?)

[paha]

Xenia1996 в сообщении #370049 писал(а):

меняете условие на "не содержит нулей в двоичной записи"?

ну да, ноль -- это отсутствие слагаемого в разложении

Xenia1996 в сообщении #370049 писал(а):

(А у меня ошибку нашли?)

нет, не искал

[maxal]

Xenia1996 в сообщении #370024 писал(а):

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, ни одна цифра которых не равна 0, и которые делятся на сумму своих цифр.

Еще одно решение: числа состоящие из $3^k$ единичек в десятичной системе счисления ($k=0,1,2,\dots$), то есть,
1, 111, 111111111, ...