Задача Чебышева

[бобыль]

В книжке Жукова "Вездесущее число $\pi$" написано (с. 157-158), что задача Чебышева "Какова вероятность того, что наудачу выбранная дробь несократима?" имеет ответ $6/\pi^2$, что больше 0.6.

Очевидно, что в буквальном смысле это ответ неверный, поскольку сократимых дробей все же больше, чем несократимых, и на самом деле решается несколько другая задача: сначала рассматриваются дроби с ограниченными числителем и знаменателем и вычисляется соответствующая вероятность, а затем ограничение устремляется к бесконечности... Поэтому у меня вопрос: а нельзя ли как-нибудь обойтись без предельного перехода? Нельзя ли, чтобы не предложение определяло спрос - когда мы приходим и хватаем первую дробь, что нам попадается, а чтобы спрос определял предложение и выбор чаще приходился на "полезные" нам дроби...

[fre]

Цитата:

сократимых дробей все же больше, чем несократимых

столько же

[Руст]

fre писал(а):

Цитата:

сократимых дробей все же больше, чем несократимых

столько же

Их количество бесконечность, только разные бесконечности по разному соотносятся.
Что касается существа вопроса "бобыля", то это упрощённый подсчёт, когда все числа в числителе и знаменателе считаются одинаковыми. На практике это естественно не выполняется. Если опросить каждого жителя (статистика чисел примерно из 6,5 миллиарда), то некоторые числа встетится несколько раз, а бесконечное множество дробей вовсе не встретится. Однако, никакой статистики не хватит для определения с какой вероятностью будет встречаться та или иная дробь, а потому, нельзя подсчитать точное значение этой вероятности.

[бобыль]

Рассмотрим воображаемый рынок, поделенный на доли $x_n$ (положительные) между бесконечным числом торговцев $n$: $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n = 1$, которые торгуют... дробями по "цене" $\frac 1 n$ и все вместе максимизируют по $x_n$ "выручку" $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n \sqrt{x_n}$.

Тогда, если я не ошибаюсь, $x_n = \frac{6}{{\pi^2 n^2}}$ и, в частности, $x_1 = \frac{6}{{\pi}^2}$, т.е. получается, что самый крупный торговец торгует и самыми дорогими дробями, а именно несократимыми (вспоминая задачу Чебышева), тогда как остальные торговцы $n$, помельче, торгуют какими-то другими дробями, подешевле, я вот только никак не соображу, какими именно: наверное, сократимыми на $n$?

[SergeiMS]

Фамилия Чебышёв пишется через букву ё. Он сам очень на этом настаивал.
Мне рассказывали про случай, когда известный математик прогнал докладчика с семинара (тоже не мальчика) за извращение знаменитой фамилии.

[бобыль]

Моя фамилия вполне аналогична и тоже произносится через ё, но в паспорте у меня ее (точек над е) нет. И с семинаров из-за меня никого не выгоняют.