борелевские множества

[moscwicz]

Доказать, что дял всякого борелевского множества $F$ (например пространства $\mathbb{R}^m$) найдется множество первой категории $A$ такое, что $F\backslash A$ открыто.

[Профессор Снэйп]

Одноточечные множества вроде тоже борелевские. (Да и многие другие множества с пустой внутренностью.) Как Вы для них $A$ найдёте???

[moscwicz]

Профессор Снэйп в сообщении #368776 писал(а):

Одноточечные множества вроде тоже борелевские. (Да и многие другие множества с пустой внутренностью.) Как Вы для них $A$ найдёте???

не догадываетесь? я намекну: пустое множество тоже открыто

[Профессор Снэйп]

А, ну да, пустое...

-- Пн ноя 01, 2010 20:11:22 --

Можно переформулировать задачу: доказать, что если $F$ борелевское, то $F \setminus \mathrm{int}(F)$ --- множество первой категории.

[Padawan]

В Куратовском, Топология, том 1, вводится такое понятие: множество $F$ обладает свойством Бэра, если оно открыто по модулю множеств первой категории, т.е. найдется открытое множество $U$ такое, что $U\setminus F$ и $F\setminus U$ -- первой категории. Доказывается, что свойство Бэра есть инвариант $A$-операции. частности все борелевские обладают свойством Бэра. Подходит?

А, раз это олимпиадные задачи, то какое-то простое решение предполагается?

-- Пн ноя 01, 2010 20:03:55 --

Вообще, исходное утверждение не верно. Контрпример: $F$ -- иррациональные числа на прямой.
Но если вместо $F\setminus A$ написать, $F\triangle A$ (симметрическая разность), то будет верно.

[moscwicz]

Padawan в сообщении #368851 писал(а):

Вообще, исходное утверждение не верно. Контрпример: $F$ -- иррациональные числа на прямой.
Но если вместо $F\setminus A$ написать, $F\triangle A$ (симметрическая разность), то будет верно.

Ой! Да одно множество первой категории надо выбросить из $F$ а другое добавить.
Раз Вы так хорошо знаете Куратовского, то что же Вы мне тогда не ответили на вопрос post367525.html#p367525 ? (когда он еще был вопросом)

Padawan в сообщении #368851 писал(а):

какое-то простое решение предполагается?

А тождества ДеМограна это сложно?

[Padawan]

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #368896 писал(а):

Раз Вы так хорошо знаете Куратовского, то что же Вы мне тогда не ответили на вопрос post367525.html#p367525 ? (когда он еще был вопросом)

Плохо, значит, то место читал. Сейчас нашел.