Аппроксимация функции

[Андрей123]

Здравствуйте. У меня такой вопрос. Есть функция $f(x,a_i)$, $a_i$ - некоторые параметры. При конкретных числовых значениях параметров функция хорошо аппрксимируется функцией $c_0+c_1(1-e^{\alpha x^2})$. Константы $c_0$ b $c_1$ находятся из условий значений функции в нуле и на бесконечности. И эти пределы вычисляются в общем виде. Вопрос в том, как проще всего подобрать "лучший" параметр $\alpha(a_i)$.

P.S. Среднеквадратическое отклонение аналитически не вычисляется.

[ИСН]

Дак надо линеаризовать.

[Андрей123]

Линеаризовать в смысле разложения до превых членов в ряды?

[ewert]

$\alpha x^2\approx\ln\left(1-\dfrac{f(x,\vec a)-c_0}{c_1}\right)$

[Андрей123]

Это понятно. А как тогда считать $\alpha$, т.е. в какой конкретно точке.

[ИСН]

Во всех. МНК.

[Андрей123]

Андрей123 в сообщении #368655 писал(а):

P.S. Среднеквадратическое отклонение аналитически не вычисляется.

[ewert]

Только полезно ещё учесть, что логарифмирование искажает масштабы. Поэтому стоит применить вариант МНК с весом, вручную подбирая весовую функцию так, чтобы более-менее минимизировать отклонение именно самой моделируемой функции от экспоненты, а не того, что получится после логарифмирования.

И ещё. Модель фактически имеет вид $c_2-c_1e^{-\alpha x^2}$. Так вот: с $c_2$ всё ясно (она действительно определяется значениями на бесконечности), а вот $c_1$ лучше загнать под экспоненту и искать по МНК одновременно с $\alpha$. Если, конечно, по каким-то соображениям значение в нуле не должно быть действительно точным.

-- Пн ноя 01, 2010 11:48:46 --

Андрей123 в сообщении #368707 писал(а):

Андрей123 в сообщении #368655 писал(а):

P.S. Среднеквадратическое отклонение аналитически не вычисляется.

Это как это не вычисляется?... Формулы МНК для одного-двух параметров -- вполне явные.

[Андрей123]

Если минимизировать отклонение от самой функции, то получается интеграл, который не берется. Или надо вычислять значения исходной функции в каких-то точках и уже к ним применять МНК. Если так, то какие точки выбирать?

[ИСН]

Мы неявно предполагали, что у Вас и есть исходная функция в каких-то точках. А она что, есть везде?

[Андрей123]

Да она есть. Но работать с ней достаточно тяжело, поэтому хотелось бы заменить ее чем-то более простым.

[ИСН]

Слишком тяжёлая, чтобы привести её здесь?
(Вопрос не риторический, такое может быть.)

[Андрей123]

Привожу

$$f(w)=-\frac{(\text{k3}(2,1) \alpha (1,1)-\text{k3}(1,1) \alpha (2,1)) \left(-\left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k2}(2,1) \text{k3}(1,1)-\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k2}(1,1) \text{k3}(2,1)\right) (\alpha (1,2)-\alpha (2,2)) \text{c66}(1)^2+\text{c66}(2) \left(e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,1)+e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,1)-e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,1)-\text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,1)+e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (1,2)-e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (1,2)+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (1,2)-\text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (1,2)+e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,2)-e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,2)-e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,2)+\text{k2}(2,2) \text{k3}(2,1) \alpha (1,2)+e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (1,2)+e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (1,2)+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (1,2)+\text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (1,2)-e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (2,1)-e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (2,1)+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (2,1)+\text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \alpha (2,1)+e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,1)-e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,1)-e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,1)+\text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,1)-e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (2,1)+e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (2,1)+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (2,1)-\text{k2}(1,1) \text{k3}(2,2) \alpha (2,1)-e^{2 h w s(1,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,2)-e^{2 h w s(2,1)} \text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,2)-e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,2)-\text{k2}(1,1) \text{k3}(1,2) \alpha (2,2)+\left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k2}(2,1) \left(\text{k3}(1,2) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (2,2)\right)-\text{k3}(2,2) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,2)\right)\right)+\text{k2}(1,2) \left(\left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k3}(2,1) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (2,2)\right)-\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \text{k3}(1,1) \left(\left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)+\left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,2)\right)\right)\right) \text{c66}(1)-\text{c66}(2)^2 (\text{k2}(2,2) \text{k3}(1,2)-\text{k2}(1,2) \text{k3}(2,2)) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,1)-\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)\right)\right)}{\text{c66}(1) \left(-\left(\left(1-e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k2}(2,1)^2 \text{k3}(1,1)^2+2 \left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \text{k2}(1,1) \text{k2}(2,1) \text{k3}(2,1) \text{k3}(1,1)-\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k2}(1,1)^2 \text{k3}(2,1)^2\right) (\alpha (1,2)-\alpha (2,2)) \text{c66}(1)^2+\text{c66}(2) \left(\left(1-e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k3}(1,1) \left(\text{k3}(1,2) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (2,2)\right)-\text{k3}(2,2) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,2)\right)\right) \text{k2}(2,1)^2+\left(\text{k2}(2,2) \text{k3}(1,1) \left(\text{k3}(2,1) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (1,2)\right)-\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \text{k3}(1,1) \left(\left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,2)+\left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)\right)\right)+\text{k2}(1,2) \text{k3}(1,1) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \text{k3}(1,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)+\left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,2)\right)-\text{k3}(2,1) \left(\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (2,2)\right)\right)+\text{k2}(1,1) \left(\text{k3}(1,2) \left(\text{k3}(1,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (2,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,2)\right)+\text{k3}(2,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (1,1)+\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,2)\right)\right)-\text{k3}(2,2) \left(\text{k3}(2,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (1,1)+\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,2)\right)+\text{k3}(1,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,2)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (2,1)\right)\right)\right)\right) \text{k2}(2,1)+\text{k2}(1,1) \text{k3}(2,1) \left(\text{k2}(2,2) \left(\left(1-e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k3}(2,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,2)\right)+\text{k3}(1,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (1,2)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)\right)\right)+\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \text{k2}(1,1) \left(\text{k3}(2,2) \left(\left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,2)+\left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)\right)-\text{k3}(1,2) \left(\left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)+\left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,2)\right)\right)+\text{k2}(1,2) \left(\left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \text{k3}(2,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \alpha (2,2)\right)+\text{k3}(1,1) \left(\left(-1-e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)-\left(1+e^{2 h w s(1,1)}+e^{2 h w s(2,1)}-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))}+e^{2 h w (s(1,1)+s(2,1))}\right) \alpha (2,2)\right)\right)\right)\right) \text{c66}(1)-\text{c66}(2)^2 (\text{k2}(2,2) \text{k3}(1,2)-\text{k2}(1,2) \text{k3}(2,2)) \left(\text{k2}(1,1) \left(\text{k3}(2,1) \left(\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,1)-\left(-1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)\right)-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k3}(1,1) \alpha (2,1)\right)+\text{k2}(2,1) \left(\text{k3}(1,1) \left(\left(1-e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(-1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (1,1)+\left(1+e^{2 h w s(1,1)}\right) \left(1+e^{2 h w s(2,1)}\right) \alpha (2,1)\right)-4 e^{h w (s(1,1)+s(2,1))} \text{k3}(2,1) \alpha (1,1)\right)\right)\right)}$$

[ИСН]

Почему нет x?

-- Пн, 2010-11-01, 22:21 --

а, понял, вместо него w. Так...

-- Пн, 2010-11-01, 22:28 --

Короче, до конца не дочитал, но похоже, $c_0$ отсюда извлекается в худо-бедно явном виде. С остальным поступайте так, как указано выше (т.е. да, найти функцию в десятке точек, выбранных вручную от балды, за неимением лучших идей; линеаризовать; подогнать по МНК).