Трудная задача по геометрии

[Sasha2]

Даны два угла и прямая непараллельная ни одной из сторон этиз двух углов.
Провести секущую этих двух углов, параллельную этой прямой так чтобы сумма отрезков, заключенных между сторонами данных углов, была бы равна данной величине.

[ewert]

(Тут, конечно, возникают проблемы с корректностью формулировки -- ну да бог с ней, корректностью.)

Проведите две прямые наобум. Измерьте полученные в обоих случаях суммы. И составьте линейное уравнение.

[Sasha2]

Нет задача тут не алгебраическая, а геометрическая и достаточно корректная.
Кстати в корректности легко убедиться, проведя прямые, параллельные данной через вершины каждого из двух данных углов.
Более того есть и решение автора, но оно меня не устраивает, поскольку на мой взгляд ошибочное.

P.S. Кстати эта же задача предлагается и в знаменитом задачнике Александрова на геометрические построения. К сожалению однако, в этом задачнике решения ее нет.

[Sasha2]

И вот после параллельного перенесения данная задача фактически сводится к такой:
В данный треугольник вписать другой треугольник все углы которого известны.

Теперь я могу построить где нибудь в сторонке любой треугольник, подобный тому, какой я должен вписать.
А затем через вершины этого треугольника провести прямые параллельные прямым описанного треугольника.
Все это хозяйство разумеется подобно между собой, поэтому все отрезки, необходимые для построения (с точностью до коэффициента подобия имеются).
Возникает вопрос, обоснован ли такой подход с точки зрения построения циркулем и линейкой. Понятно, что там задача становится скорее нудной, чем трудной, но возникают опасения, все ли это строится циркулем и линейкой.

[sergey1]

Проведем через вершины данных углов прямые, параллельные данной прямой $m$. Вне получившейся полосы решение найти легко (если оно там есть). Чтобы найти решение внутри полосы, нужно преобразовать два отсеченных полосой треугольника в одну трапецию, обладающуютем свойством, что прямые, параллельные $m$ и лежащие внутри полосы высекают на ней отрезок, равный сумме отрезков на треугольниках. А преобразавать их легко, будем гонять сторону, лежащую на одной из 2-х построенных прямых по этой прямой не меняя длины, пока одна из оставшихся сторон не окажется параллельной стороне второго треугольника.

-- Пн ноя 01, 2010 16:55:59 --

ewert в сообщении #368613 писал(а):

Проведите две прямые наобум. Измерьте полученные в обоих случаях суммы. И составьте линейное уравнение.

Вы ведь имеете в виду наобум параллельно данной?

[ewert]

Ну вот первое, что приходит в голову.

Проводим любую прямую $L_1$, параллельную данной и пересекающую оба угла. Пусть основания отсекаемых при этом треугольников $a_1$ и $a_2$. Где-нибудь в сторонке на этой же прямой $L_1$ отдельно строим такую картинку. Откладываем отрезок длины $a_1$ и впритык к нему справа отрезок длины $a_2$. Из общей точки проводим любую непараллельную прямую $H$ и отмечаем точки пересечения $B_1$ и $B_2$ прямой $H$ с линиями, проведёнными параллельно $L_1$ через вершины соответствующих углов. Строим два треугольника, смыкающихся по этой прямой: с вершиной $B_1$ и основанием $a_1$ и с вершиной $B_2$ и основанием $a_2$. Пусть $G_1$ и $G_2$ -- боковые стороны этих треугольников. (Собственно, мы просто смещаем и перекашиваем с сохранением высот два отрезанных треугольничка так, чтобы они сомкнулись.)

Теперь на прямой $L_1$ откладываем от левого конца отрезка $a_1$ вправо отрезок требуемой суммарной длины. Через полученную точку проводим прямую, параллельную линии $G_1$ и смотрим, в какой точке $M$ эта прямая пересекает линию $G_2$ или (если эта точка пересечения заедет внутрь левого треугольника) линию $H$.

Теперь проводим через точку $M$ прямую $L_2$, параллельную $L_1$. Тогда пересечение $L_2$ с исходными углами и даст то, что нужно.

[Sasha2]

Не совсем понятно, посему Вы говорите. "если есть решение".
Ну хорошо давайте дополним условие таким: стороны двух данных углов еще непараллельны данной прямой.
Тогда все стороны пересекутся.

Итак пусть двумя данными углами будут угол ABC и DEF.
На стороне AB берем любую точку K и проводим через нее прямую данного направления, а затем от этой точки внутрь угла откладываем отрезок KL данной длины, который пересечет сторону AC в точке M
Через точку L проводим прямую, параллельную AB.
Выполняем параллельный перенос угла DEF в направлении данной прямой, так, чтобы отрезок секущей, заключенный между сторонами угла DEF? совместился с отрезком LM.
Ну а дальше, как в одном посте чуть выше.

Вопрос все же интересует про корректность. Ну вот к примеру, если у меня есть два подобных треугольника и еще один третий. Могу ли я циркулем и линейкой построить треугольник, подобный третьему с тем же коэффициентом подобия, что у первых двух, невзирая на то, а вдруг коэффициент подобия число нерациональное.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #368733 писал(а):

а вдруг коэффициент подобия число нерациональное.

Отрезок можно разделить циркулем и линейкой в любом заданном отношении (заданном парой известных отрезков), независимо от рациональности или иррациональности.

[Sasha2]

Ну значит следует понимать, что мое решение корректно с точки зрения выполнимости циркулем и линейкой?

[sergey1]

Sasha2 в сообщении #368733 писал(а):

Не совсем понятно, посему Вы говорите. "если есть решение".

Например данные углы - первая и третья четверть, а данная прямая $x=y$

[Sasha2]

Ну дело то в том, что прямая не просто данная, а прямая, параллельная данной.
То есть в нашем слечае, не только вести прямую можно как x=y, а и всякая другая, параллельная ей может быть секущей.
Поэтому задачу можно считать корректной, если данная прямая пересекает все прямые, на которых лежат стороны данных углов.

[sergey1]

И в любом случее получим бесконечную длину

[Sasha2]

Да как же бесконечную, если y=x, эта прямая, которая наклонена к обеим осям под 45 градусов.

А вообще то да.
Ну я думаю, нетрудно слегка поправить условие, чтобы задача была корректной.

[sergey1]

Решения может не быть также если данный отрезок слишком мал. Например данные углы - это первая четверть и третья четверть, поднятая на 5, а данный отрезок имеет длину 1, направление любое.

-- Пн ноя 01, 2010 20:16:30 --

Sasha2 в сообщении #368747 писал(а):

Да как же бесконечную, если y=x, эта прямая, которая наклонена к обеим осям под 45 градусов.

Любая прямая, параллельная $x=y$ пересечет и первую и третью четверти по лучу.

[Sasha2]

Ну хорошо убедили. Да мне она вообщем тоже не очень понравилась. Действительно достаточно кривенькая задача.