Аппрокимация функции бесконечным количеством пар

[Bulinator]

Привет всем.

Я тут наткнулся на математическую проблему:

имеется счетное количество пар $(x_n, t_n)$, $x\in [0,1],\quad n=0,1,...,\infty$.

Вопрос: можно ли нарисовать аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!), такую, чтобы

$x(t_n)=x_nб $ для любого $n$?

Единственная ли это функция?

Посоветуйте пожалуйста литературу.
Заранее спасибо за ответы.

[maxal]

Bulinator в сообщении #368143 писал(а):

имеется счетное количество пар $(x_n, t_n)$, $x\in [0,1],\quad n=0,1,...,\infty$.

Как именно эти пары заданы?

[AD]

Bulinator в сообщении #368143 писал(а):

аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!)

Вот если бы не это "формулу!!!", то задача действительно бы имела не более чем единственное решение.

[paha]

Bulinator в сообщении #368143 писал(а):

можно ли нарисовать аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!)

Аналитическую -- в смысле теории функций, или в том смысле, что она задается некоторой формулой?

[ewert]

Bulinator в сообщении #368143 писал(а):

Вопрос: можно ли нарисовать аналитическую функцию

Что такое "формула" -- это загадка, аналитическую же функцию -- вообще говоря, нельзя, естественно.

[Bulinator]

maxal в сообщении #368146 писал(а):

Bulinator в сообщении #368143 писал(а):

имеется счетное количество пар $(x_n, t_n)$, $x\in [0,1],\quad n=0,1,...,\infty$.

Как именно эти пары заданы?

Если честно, то получается так что $t_n-t_{n-1}=|x_n-x_{n-1}|$ а $x_n$ всюду плотная последовательность на [0,1]. Только я думал, что это не имеет значение.

-- Вс окт 31, 2010 17:25:07 --

AD в сообщении #368167 писал(а):

Вот если бы не это "формулу!!!", то задача действительно бы имела не более чем единственное решение.

paha в сообщении #368183 писал(а):

Аналитическую -- в смысле теории функций, или в том смысле, что она задается некоторой формулой?

ewert в сообщении #368222 писал(а):

Что такое "формула" -- это загадка, аналитическую же функцию --

Если бы n принимало значаения от 0 до некторого конечного N то существует интерполяционная формула Лагранжа, которая x(t) аппроксимирует полиномом N+1-й степени. Но тут последовательность бесконечная. Переходить к пределу $N\mapsto\infty$ страшно и небезопасно, ведь он может вообще не существовать!

ewert в сообщении #368222 писал(а):

аналитическую же функцию -- вообще говоря, нельзя, естественно.

А почему нельзя??

Спасибо за ответы.

-- Вс окт 31, 2010 17:35:34 --

AD в сообщении #368167 писал(а):

Bulinator в сообщении #368143 писал(а):

аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!)

Вот если бы не это "формулу!!!", то задача действительно бы имела не более чем единственное решение.

Сорри, не заметил. Вы меня почти осчастливили!! А почему?

[maxal]

Bulinator в сообщении #368348 писал(а):

Если честно, то получается так что $t_n-t_{n-1}=|x_n-x_{n-1}|$ а $x_n$ всюду плотная последовательность на [0,1].

Все равно непонятно.
Если вам $t_n$ и $x_n$ даны как функции от $n$, то задача сводится к нахождению явного вида функции по ее неявному заданию. Влоб можно, например, попробовать обратить зависимость $t$ от $n$, и найти функцию $n(t)$ такую, что $t_{n(t)}=t$ и подставить ее в функцию для $x_n$, получая искомую зависимость от $t$: $x_n = x_{n(t)}$.

[Bulinator]

maxal в сообщении #368406 писал(а):

Bulinator в сообщении #368348 писал(а):

Если честно, то получается так что $t_n-t_{n-1}=|x_n-x_{n-1}|$ а $x_n$ всюду плотная последовательность на [0,1].

Все равно непонятно.
Если вам $t_n$ и $x_n$ даны как функции от $n$, то задача сводится к нахождению явного вида функции по ее неявному заданию. Влоб можно, например, попробовать обратить зависимость $t$ от $n$, и найти функцию $n(t)$ такую, что $t_{n(t)}=t$ и подставить ее в функцию для $x_n$, получая искомую зависимость от $t$: $x_n = x_{n(t)}$.

Да не... Например, берем последовательность

$x_0=1,\quad x_1=\frac{1}{2}, \quad x_2=\frac{1}{3},\quad x_3=\frac{2}{3}...$ и.т.д. Т.е. $x_n$ - как-то пронумерованные рациональные числа, а $t_{n}-t_{n-1}=|x_{n}-x_{n-1}|$.

Мне нужна функция $x(t)$ с гладкой производной какой-нибудь степени(в идеале бесконечной), чтобы,в частности, исследовать производные $\dot{x}(t)$.

Меня терзают смутные сомнения, что до меня с такой задачей уже сталкивались и кто-то(очень умный) получил результаты. Вот только они по ходу где-то спрятаны, потому как гугление дает результаты только для конечного числа пар $(x_n, t_n)$. А еще сомнения говорят, что на форуме есть кто-то, кто знает в какую чторону мне копать.

[shwedka]

Это классическая интерполяционная задача Неванлины-Пика (Nevanlinna-Pick),
решенная около 100 лет назад. Необходимое и достаточное условие состоит в положительной определенности бесконечной системы матриц.
Погуглите, посмотрите в продвинутых книгах по ТФКП, или в книгах по проблеме моментов Ахиезера или Крейна-Нудельмана

[Bulinator]

shwedka в сообщении #368429 писал(а):

Это классическая интерполяционная задача Неванлины-Пика (Nevanlinna-Pick),
решенная около 100 лет назад. Необходимое и достаточное условие состоит в положительной определенности бесконечной системы матриц.
Погуглите, посмотрите в продвинутых книгах по ТФКП, или в книгах по проблеме моментов Ахиезера или Крейна-Нудельмана

Спасибо большое!!!

[Bulinator]

shwedka в сообщении #368429 писал(а):

Это классическая интерполяционная задача Неванлины-Пика (Nevanlinna-Pick),

Прошло почти 3 года и снова всплыла эта задача. Правда уже в другом контексте. Вопрос в том, что в книгах обычно берется конечное число пар. Посоветуйте, пожалуйста, где искать случай с бесконечным кол-вом $(x_n,t_n)$.