линейная зависимость системы

[kest]

Есть система векторов, которую надо исследовать на линейную зависимость:

$$1, x, \sin(x); x \in R$$

. И что делать с ней - непонятно. Были бы это векторы заданные координатами, то по смешанному произведению можно и решить, а что делать с этим - неясно. Вобщем случае чтобы система была линейно-зависима необходимо

$$a*1+b*x+c*\sin(x)=0$$

при

$$|a|+|b|+|c| \not = 0$$

Но не ясно, можно ли взять а, b, и c равные .0, sin(x), -x соответственно? И можно ли назвать систему линейно-зависимой если первое равенство выполняется только при некоторых x. А если система не зависима, то как аналитически доказать это?

[Joker_vD]

kest
Перво-наперво: что у вас за векторное пространство?

[Leox]

Проверьте, вдруг они функционально независимы :)

[kest]

Joker_vD
В условии об этом ничего не сказано. Но как подсказал преподаватель - геометрической интерпретации здесь нет, векторами это названо условно.

Leox
что значит "функционально независимы"? Заданы разными функциями?

[Leox]

тогда так - найдите производную один раз по $x$ от уравнение $a+b x+c sin(x)=0.$ После етого еще раз найдмите производную от того что получилось. У вас получится три уравнения (вместе с начальным) на $a,b,c.$ Попробуйте или решить его или доказать что оно не имет решений.

[kest]

$ \left\{ \begin{array}{l} a+b*x+c*sin(x)=0,\\ b+c*cos(x)=0,\\ -c*sin(x)=0 \end{array} \right. $ Пусть $c \not = 0$, то $sin(x)=0$, $x=\pi*k, k\in Z$ и $b=\pm c$, $a=\pm c *\pi *k, k\in Z$.
Но какое отношение имеет производная к решению уравнения? Я на первом курсе пока, может не знаю чего ещё...
Это 6 вариант 2ой задачи линейной алгебры из Кузнецова.

[paha]

kest в сообщении #367702 писал(а):

Вобщем случае чтобы система была линейно-зависима необходимо

$$a+bx+c\sin(x)=0$$

при

$$|a|+|b|+|c| \not = 0$$

этого недостаточно? Или Вы знаете такие $a,b,c$ что

$$\forall x\in\mathbb{R}\quad a+bx+c\sin(x)=0$$

????

-- Пт окт 29, 2010 22:16:03 --

kest в сообщении #367751 писал(а):

Но какое отношение имеет производная к решению уравнения?

ни-ка-кого... по крайней мере в данном случае))) Да и уравнений Вам не надо решать -- это задача на понимание определения

[Joker_vD]

kest
Погодите. Причем здесь геометрия? Векторное, сиречь линейное, пространство — это вполне определенная вещь, а именно множество "векторов", на котором есть ассоциативное коммутативное сложение и операция умножения на скаляр, где скаляр — элемент определенного поля, причем операции должны быть согласованы.

Я потому и спрашиваю: что за пространство? Что является его "векторами"? Как задано сложение? Из какого поля берутся скаляры? Не определившись с этим, ответить на ваш вопрос невозможно... если не привлекать телепатию, как сделали остальные отвечающие.

Вот вы, наверное, сейчас думаете "Чего он прицепился?". Видите ли, если вы сообразите, что у вас за ноль такой стоит в правой части $a \cdot 1 + bx + c\sin x = 0$, вы сразу ответите на свой вопрос. Но для этого надо знать, в каком пространстве вы работаете.

[kest]

paha в сообщении #367754 писал(а):

kest в сообщении #367702 писал(а):

Вобщем случае чтобы система была линейно-зависима необходимо

$$a+bx+c\sin(x)=0$$

при

$$|a|+|b|+|c| \not = 0$$

этого недостаточно? Или Вы знаете такие $a,b,c$ что

$$\forall x\in\mathbb{R}\quad a+bx+c\sin(x)=0$$

????

Такие чтобы $\forall x\in\mathbb{R}\quad a+bx+c\sin(x)=0$ и $|a|+|b|+|c| \not = 0$ - нет. Но в начале у меня и был вопрос по поводу конкретного значения х или только для общего случая.

Joker_vD в сообщении #367764 писал(а):

kest
Я потому и спрашиваю: что за пространство?

Если бы я знал - ответил бы. в условии про это не сказано ни слова.

[Joker_vD]

Что ж, тогда придется применить телепатию и рассказать. Ваше пространство — это множество функций $\{\, f \colon \mathbb R \to \mathbb R\,\}$. Сложение на нем — поточечное, т.е. $f+g$ задается по правилу $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$; скаляры берутся из $\mathbb R$, умножение на них также поточечное: $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$. Нулем является тождественно нулевая функция: $0(x) = 0$ для любого $x$. Вот! Именно это и нужно.

Вам нужно подобрать вещественные числа $a$, $b$, $c$ такие, чтобы функция $a \cdot 1 + bx + c \sin x$ была тождественно нулевой функцией. Ну, несложно показать, что это возможно лишь если $a = b= c = 0$.

(Оффтоп)

Мне никогда не нравилась идея обозначать все поголовно нули как $0$, особенно в учебниках.

[kest]

Спасибо за объяснение. Надо будет почитать и разобраться с темой векторов, пространств и полей, из лекций это, видимо, упустили(может, конечно, оставили на потом)...

[Leox]

kest в сообщении #367751 писал(а):

$ \left\{ \begin{array}{l} a+b*x+c*sin(x)=0,\\ b+c*cos(x)=0,\\ -c*sin(x)=0 \end{array} \right. $ Пусть $c \not = 0$, то $sin(x)=0$, $x=\pi*k, k\in Z$ и $b=\pm c$, $a=\pm c *\pi *k, k\in Z$.
Но какое отношение имеет производная к решению уравнения? Я на первом курсе пока, может не знаю чего ещё...
Это 6 вариант 2ой задачи линейной алгебры из Кузнецова.

Последнее уравнение должно выполнятся при всех $x$ поетому $c=0.$ Отсюда и $b=0, a=0.$

А производная нужна лишь для того чтобы сгенерировать дополнительные уравнения.

[paha]

Leox
Производные тут ведь совсем ни при чем, ведь функции могли быть и недифференцируемыми, -- зачем голову морочить?-)

"Правильным" решением было бы выбрать две точки... например $x=0$, $x=\pi$ и вычислить наш "ноль" в них. Откуда бы сразу следовало, что $a=0$ и $b=0$.

Ну, или "использовать свойства функций": периодическая не может быть равна монотонной...

Повторюсь, эта задача -- на понимание определения линейной зависимости... не вычислительная

[Leox]

согласен..

[kest]

но всеже меня заинтересовала это система с производными... разве такой метод отыскания дополнительных уравнений(для решения или доказательства его отсутствия) является допустимым?