Вопрос по теории вероятностей.

[Хорхе]

Да, это ерунда, конечно. Мартингальность нигде не используется, а без мартингальности это неверно (достаточно взять $M_n=n$). Так что Альберт Николаевич таки наврал тут (утверждение, видимо, правильное, только доказывать его надо как-то иначе).

[StuDenT777]

Можно другой вопрос по тому же доказательству из Ширяева? На стр.492
написано выражение (24), а ниже написано "В силу неравенства (1)", и
далее следует неравенство. Так вот, как это неравенство следует из
(1)? У меня вот что получилось

$$ {\mathbb{P}\{\sup_{k\geqslant 1}|m_{n+k}-m_n|\geqslant \varepsilon\}}=\lim_{N\to\infty}{\mathbb{P}\{\sup_{1\leqslant k\leqslant N}|m_{n+k}-m_n|\geqslant \varepsilon\}}= \lim_{N\to\infty}{\mathbb{P}\{\sup_{1\leqslant k\leqslant N}|\sum\limits_{k={n+1}}^{n+k}\frac{\Delta M_k}{k}|\geqslant \varepsilon\}}\leqslant\lim_{N\to\infty}\frac{{\bf E} \Bigl(\sum\limits_{k={n+1}}^{n+N}\frac{\Delta M_k}{k}\Bigr)^2 }{\varepsilon^2} $$

И надо теперь квадрат затащить в сумму. Это можно сделать, например,
по неравенству Гельдера, но тогда появится множитель $N-1$. И не
понятно тогда как получить (24). Помогите разобраться, может это
вообще как-то иначе делать надо.

[Хорхе]

Тут как раз все в порядке: для $k>j$

$$ E[\Delta M_k \Delta M_j] = E[E[(M_{k}-M_{k-1})\Delta M_j|\mathcal F_{k-1}]] = E[\Delta M_j E[M_{k}-M_{k-1}|\mathcal F_{k-1}]]=0. $$

Так что квадрат суммы в данном случае (сбылась мечта студента!) равен сумме квадратов.

[StuDenT777]

Да, что-то я и не подумал использовать мартингальность. Спасибо. И, наверное, последний вопрос по этому доказательству. Почему последовательность $\{m_{n+k}-m_n\}_{k\geqslant1}$ образует мартингал? Что интегрируем понятно

$${\bf E}\sum\limits_{j=n+1}^{n+k}\frac{M_j-M_{j-1}}{j}=\sum\limits_{j=n+1}^{n+k}\frac{{\bf E}(M_j-M_{j-1})}{j}=0,~\text{т.к.}~{\bf E}(M_j-M_{j-1})={\bf E}\{{\bf E}[(M_j-M_{j-1})|\mathcal F_{j-1}]}\}=0.$$

А как быть со вторым свойством мартингала?