Пусть сумма n чисел равна нулю, причем m - наименьшее из них, а M - наибольшее. Докажите, что сумма квадратов этих чисел не превосходит -mMn
Переформулирую задачу: даны два набора неотрицательных чисел с одинаковой суммой. В одном набор числа не превосходят числа

, в другом -- числа

. Доказать, что сумма квадратов всех чисел не превосходит

, где

- общее количество чисел в обоих наборах.
Обозначим сумму чисел в каждом наборе через

. Тогда количество чисел в первом наборе не меньше

, а во втором - не меньше

, то есть

Вогнутость суммы квадратов при фиксированной сумме даёт также, что сумма квадратов в первом наборе не превосходит:

где

и аналогично для второго набора:

где

.
Итак, сумма квадратов всех чисел не превосходит
