2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Из пушки по воробьям.
Сообщение09.10.2006, 19:46 


07/10/06
77
-Знаете как доказывать тождества?
-Конечно,это же просто!
-А знаете как их доказывать сложно?Эту тему я завёл для сбора доказательства простых утверждений через "сложные" пути,например 2*2=4 через логарифмы.Надеюсь она будет пользоваться популярностью.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2006, 20:04 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Было бы хорошо, если бы Вы для затравочки привели пару доказательств (не забыв о теге Math)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2006, 20:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Не думаю, что это сильно интересно. Усложнять можно все что угодно и практически неограниченно. А какой смысл в этой теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Из пушки по воробьям.
Сообщение09.10.2006, 21:34 
Аватара пользователя


28/06/06
138
Три А,да писал(а):
-Знаете как доказывать тождества?
-Конечно,это же просто!
-А знаете как их доказывать сложно?Эту тему я завёл для сбора доказательства простых утверждений через "сложные" пути,например 2*2=4 через логарифмы.Надеюсь она будет пользоваться популярностью.

Можно например, решить линейное уранение с одной переменной, используя
принцип сжимающих отображений. Разумеется это не самый рациональный способ,
решить уравнение. Но за то сам принцип важен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.10.2006, 16:42 


07/10/06
77
А зачем вообще что-то делается?ИНТЕРЕСНО

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.10.2006, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
По просьбе Три А,да помещаю сюда свое док-во неравенства Бернулли для отрицательных переменных. Под неравенством Бернулли я подразумеваю следующее:
Если $x_1,\ldots,x_n\geqslant-1,$ все $x_j$ одного знака, то
$$(1+x_1)\ldots(1+x_n)\geqslant1+x_1+\ldots+x_n.$$


Во-первых,
$$\ln(1+x)=\int\limits_0^x \frac{du}{1+u}= -\int\limits_0^{-x}\frac{du}{1-u}\text{ при $x>-1$.}$$
Далее, при $0\leqslant a \leqslant a+b<1$ имеем
$$\int\limits_0^a\frac{du}{1-u}\leqslant\int\limits_0^a\frac{du}{1-b-u}=\int\limits_b^{b+a}\frac{du}{1-u}.$$
Это дает при $x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n>-1$
$$\ln(1+x_1)\ldots(1+x_n)= -\sum_{k=1}^n \int\limits_0^{-x_k}\frac{du}{1-u}\geqslant  -\sum_{k=1}^n \int\limits_{ -x_1-\ldots-x_{k-1} }^{-x_1-\ldots-x_{k-1}-x_k}\frac{du}{1-u}= -\int\limits_0^{-x_1-\ldots-x_n}\frac{du}{1-u}=\ln(1+x_1+\ldots+x_n),$$
т.е. $(1+x_1)\ldots(1+x_n)\geqslant1+x_1+\ldots+x_n$. При $-1\leqslant x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n\leqslant-1$ это очевидно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group