Из пушки по воробьям.

[Три А,да]

-Знаете как доказывать тождества?
-Конечно,это же просто!
-А знаете как их доказывать сложно?Эту тему я завёл для сбора доказательства простых утверждений через "сложные" пути,например 2*2=4 через логарифмы.Надеюсь она будет пользоваться популярностью.

[photon]

Было бы хорошо, если бы Вы для затравочки привели пару доказательств (не забыв о теге Math)

[PAV]

Не думаю, что это сильно интересно. Усложнять можно все что угодно и практически неограниченно. А какой смысл в этой теме?

[Woland]

Три А,да писал(а):

-Знаете как доказывать тождества?
-Конечно,это же просто!
-А знаете как их доказывать сложно?Эту тему я завёл для сбора доказательства простых утверждений через "сложные" пути,например 2*2=4 через логарифмы.Надеюсь она будет пользоваться популярностью.

Можно например, решить линейное уранение с одной переменной, используя
принцип сжимающих отображений. Разумеется это не самый рациональный способ,
решить уравнение. Но за то сам принцип важен.

[Три А,да]

А зачем вообще что-то делается?ИНТЕРЕСНО

[RIP]

По просьбе Три А,да помещаю сюда свое док-во неравенства Бернулли для отрицательных переменных. Под неравенством Бернулли я подразумеваю следующее:
Если $x_1,\ldots,x_n\geqslant-1,$ все $x_j$ одного знака, то

$$(1+x_1)\ldots(1+x_n)\geqslant1+x_1+\ldots+x_n.$$

Во-первых,

$$\ln(1+x)=\int\limits_0^x \frac{du}{1+u}= -\int\limits_0^{-x}\frac{du}{1-u}\text{ при $x>-1$.}$$

Далее, при $0\leqslant a \leqslant a+b<1$ имеем

$$\int\limits_0^a\frac{du}{1-u}\leqslant\int\limits_0^a\frac{du}{1-b-u}=\int\limits_b^{b+a}\frac{du}{1-u}.$$

Это дает при $x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n>-1$

$$\ln(1+x_1)\ldots(1+x_n)= -\sum_{k=1}^n \int\limits_0^{-x_k}\frac{du}{1-u}\geqslant -\sum_{k=1}^n \int\limits_{ -x_1-\ldots-x_{k-1} }^{-x_1-\ldots-x_{k-1}-x_k}\frac{du}{1-u}= -\int\limits_0^{-x_1-\ldots-x_n}\frac{du}{1-u}=\ln(1+x_1+\ldots+x_n),$$

т.е. $(1+x_1)\ldots(1+x_n)\geqslant1+x_1+\ldots+x_n$. При $-1\leqslant x_1,\ldots,x_n\leqslant0,\ x_1+\ldots+x_n\leqslant-1$ это очевидно.