Как выбрать элемент из бесконечного множества?

[Виктор Викторов]

Для того, чтобы выбрать элемент из бесконечного множества не нужна аксиома выбора.
"... при $t=\left\{\tau\right\}$ существование множества представителей следует из существования единичного множества $\quad\left\{x\right\}$ для любого данного $x$ - в данном случае для $x\in \tau$; этот вывод получается в функциональном исчислении посредством нескольких простых шагов, в том числе применения так называемой теоремы (о) дедукции."
А. А. Френкель И. Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Страницы 69-70.
Каковы эти несколько "простых шагов"? Или где об этом можно прочитать?

[Niclax]

Как бесконечное множество может быть пустым?

(Оффтоп)

Убрать \quad

[Виктор Викторов]

Niclax в сообщении #365849 писал(а):

Как бесконечное множество может быть пустым?

Блямс! Убираю. А по сути у Вас что-нибудь есть?

Niclax в сообщении #365849 писал(а):

(Оффтоп)

Убрать \quad

Спасибо!

[Niclax]

Виктор Викторов в сообщении #365850 писал(а):

А по сути у Вас что-нибудь есть?

Не знаю, посмотрите Бурбаки.

[Виктор Викторов]

Niclax в сообщении #365852 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #365850 писал(а):

А по сути у Вас что-нибудь есть?

Не знаю, посмотрите Бурбаки.

Посмотрел. Ничего не вижу.

[Niclax]

Виктор Викторов в сообщении #365854 писал(а):

Посмотрел. Ничего не вижу.

Хм, а схема отбора на с.79 не то?

[Виктор Викторов]

Самая последняя фраза на странице 78 звучит так: "... соотношение $x\in X$ эквивалентно $\left\{x\right\}\subset X$". Если прочитать её вне контекста, то вообще не о чем разговаривать. Но... Эта фраза из пункта об аксиоме пары. И, конечно, речь идёт только о двухэлементном $X$. Поэтому едем на страницу 79 (Вами указанную) и находим аксиомы объединения и выделения. Я знаю (с помощью Френкеля), как построить предикат для получения пустого множества, но, как построить только из того факта, что множество бесконечно, предикат, выделяющий единичное множество не вижу.

[Niclax]

Виктор Викторов в сообщении #365884 писал(а):

. И, конечно, речь идёт только о двухэлементном $X$.

Нет, X - любое множество.

[Виктор Викторов]

Из-за Вас я опять "подсел" на Бурбаки. Но сижу я на Френкеле. Оба они (Френкель на страницах 60-61, а Бурбаки на странице 78) выделяют одноэлементное множество из двухэлементного. Правда, последняя фраза на странице 78 весьма двусмысленна, но для бесконечного множества это никак не обосновано.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #365884 писал(а):

Самая последняя фраза на странице 78 звучит так: "... соотношение $x\in X$ эквивалентно $\left\{x\right\}\subset X$". Если прочитать её вне контекста, то вообще не о чем разговаривать. Но... Эта фраза из пункта об аксиоме пары. И, конечно, речь идёт только о двухэлементном $X$.

Niclax в сообщении #365892 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #365884 писал(а):

И, конечно, речь идёт только о двухэлементном $X$.

Нет, X - любое множество.

Уважаемый Niclax! Из-за Вас я вынужден был перечитать пятьдесят страниц Бурбаки. За что Вам отдельное спасибо. Видимо, Вы правы фраза "... соотношение $z\in \left\{x\right\}$ эквивалентно $z=x$; соотношение $x\in X$ эквивалентно $\left\{x\right\}\subset X$" относится к произвольному множеству $X$. Но, если "соотношение $z\in \left\{x\right\}$ эквивалентно $z=x$;" обосновано аксиомой пары (аксиомой двухэлементного множества у Бурбаки), то вторая половина фразы "... соотношение $x\in X$ эквивалентно $\left\{x\right\}\subset X$" нуждается, как минимум, в аксиоме бесконечности. И еще после этого согласно Френкелю её надо вывести с помощью теоремы о дедукции. Как будем вылезать из этого положения?

[Niclax]

А в Гильберте-Бернайсе этого нет?

[Виктор Викторов]

Первый том Гильберта-Бернайса не помог, но я заглянул во второе (английское) издание Френкеля. Видимо, фраза "...этот вывод получается в функциональном исчислении посредством нескольких простых шагов, в том числе применения так называемой теоремы (о) дедукции." не устроили и автора. Во втором издании этот кусок был изменен с четким указанием, что единичное множество существует для каждого каждого элемента $x$. Хотя этот факт и доказывается Френкелем с помощью аксиомы пары до аксиомы бесконечности, но распространяется и на бесконечные множества. Niclax! Спасибо за помощь.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #365884 писал(а):

как построить только из того факта, что множество бесконечно, предикат, выделяющий единичное множество не вижу

А для множества из двух элементов Вы такой предикат построить можете? Не для "конструктивно" определённой пары $\{a,b\}$, а для абстрактного множества $X$, о котором известно только то, что оно содержит два элемента?

Виктор Викторов в сообщении #365843 писал(а):

Для того, чтобы выбрать элемент из бесконечного множества не нужна аксиома выбора.

Со времён Френкеля и Бар-Хиллела много воды утекло, взгляды математиков на некоторые вопросы могли измениться. Для выбора одного элемента из одного непустого множества (и даже из произвольного конечного набора непустых множеств) аксиома выбора не требуется. (Не имея текста, мне трудно судить о том, отличается ли точка зрения Френкеля и Бар-Хиллела от моей.)

Выбор одного элемента из одного непустого множества сейчас выглядит так: "множество $X$ не пустое, то есть, $\exists x(x\in X)$; вот этот (любой, какой попадётся) $x$ и возьмём".

Нельзя придумать ничего лучше. Классическая математика в этом месте радикально расходится с конструктивной, поскольку конструктивная математика требует явного предъявления $x$.
Аксиома выбора, если разобраться, на самом деле ничего не выбирает. Она просто утверждает непустоту множества функций выбора (существование такого множества следует из других аксиом). А "выбираем" мы сами - так, как написано выше.

Виктор Викторов в сообщении #367396 писал(а):

Во втором издании этот кусок был изменен с четким указанием, что единичное множество существует для каждого каждого элемента $x$. Хотя этот факт и доказывается Френкелем с помощью аксиомы пары до аксиомы бесконечности, но распространяется и на бесконечные множества.

Потому и распространяется, что аксиома бесконечности здесь не требуется.
Кстати, аксиома пары не нужна, так как она является следствием других аксиом (без аксиомы бесконечности).

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #369201 писал(а):

Кстати, аксиома пары не нужна, так как она является следствием других аксиом (без аксиомы бесконечности).

Всё остальное я понимаю теперь именно так, как Вы написали. А вот это "Кстати" как работает?

[Someone]

Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. Москва, "Наука", 1982.
Джозеф Р Шенфилд. Аксиомы теории множеств.
Существование пары обсуждается в § 4, правда, без подробностей. Для доказательства существования пары используется существование хотя бы одного множества, о котором сказано так: "Аксиома бесконечности гарантирует существование хотя бы одного множества. Из обычных аксиом логики также можно получить существование хотя бы одного множества."

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. Москва, "Мир", 1970.
Этот вопрос обсуждается в § 2 Главы II. Здесь ссылки на аксиомы логики нет, просто используется аксиома бесконечности.