немогу понять как найти дельта от эпсилон

[Eiktyrnir]

Уважаемые корифеи!
Немогу разобраться в простейшей задачке. Подскажите как всегда, сделайте милость.
1. Найти предел и найти $\delta(\epsilon)$
Предел я нашел (не буду пиводить элементарные выкладки)
$\lim\limits_{x \to 3}\frac{4x^2-14x+6}{x-3}=10$
Вот насчет $\delta(\epsilon)$ - непреодолимый ступор.
Прочел определение (например А.А. Гусак, Пособие по решению задач по высшей математике, стр.253).
"Число $b$ называется пределом функции $y=f(x)$ при $x\mapsto a$ (в точке $a$), если для всякого $\epsilon>0$ можно найти такое число $\delta>0$, что
$|f(x)-b|<\epsilon$
когда
$0<|x-a|<\delta$"
Дальше идет "моя стена непонимания"...
Вообщем как должно следовать из определения в моем случае

$$ \left| \frac{4x^2-14x+6}{x-3}- 10 \right| < \epsilon$$

когда

$$0 < \left| x-3 \right| < \delta$$

Немогу понять как связать в данном случае $\delta(\epsilon)$?
Пожалуйста прошу подсказать (или намекнуть).

[ewert]

Решить неравенство. Но сначала, конечно, сократить дробь.

[Eiktyrnir]

ewert в сообщении #365634 писал(а):

Решить неравенство. Но сначала, конечно, сократить дробь.

Извините 1000 раз. Я вот понял, что это система неравенств. Т.е. получил вот что

$$\left| x-3 \right| < \frac{\epsilon}{4}$$

$$0 < \left| x-3 \right| < \delta$$

тогда получается, что

$$0 <\frac{\epsilon}{4} < \delta$$

и следовательно $\delta(\epsilon)>\frac{\epsilon}{4}$
так?

[ewert]

Да.

[ShMaxG]

А не наоборот ли? Ну в смысле $\[0 < \delta \left( \varepsilon \right) \le \frac{\varepsilon }{4}\]$. В этом случае $\[\left| {x - 3} \right| < \delta \]$ будет влечь $\[\left| {x - 3} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\] $.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #365665 писал(а):

А не наоборот ли?

Да, наоборот. Я, как обычно, не обратил внимания на направление неравенства.

[Eiktyrnir]

To ShMaxG ewert - спасибо огромное. Вывели из умственного "ступора".

[Eiktyrnir]

ShMaxG писал(а):

В этом случае $\[\left| {x - 3} \right| < \delta \]$ будет влечь $\[\left| {x - 3} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\] $.

Ребята прошу 1000 и 1 прощение. Никак немогу "въехать"... Вроде как понятно было, но немогу цепочку проследить ваших мыслей. Пожалуйста еще раз "для тех кто в танке" подробнее - как из этого

$$\left| x-3 \right| < \frac{\epsilon}{4}$$

$$0 < \left| x-3 \right| < \delta$$

получается, что
$\[\left| {x - 3} \right| < \delta \]$ будет влечь $\[\left| {x - 3} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\] $
Ну не дано мне это понять... пока... Прошу вас пожалуйста подскажите еще раз если не сложно.

[Sasha2]

А какой вообще смысл в этой задаче поиска дельты для епсилон, коли предел уже найден?

[ShMaxG]

Значит, еще раз.

Для любого $\[\varepsilon > 0 \]$ надо найти $\[\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0\]$ такую, что $\[0 < \left| {x - a} \right| < \delta \left( \varepsilon \right)\]$ будет влечь $\[\left| {f\left( x \right) - b} \right| < \varepsilon \]$.

В Вашем случае $ \[\left| {f\left( x \right) - b} \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\] $, $a=3,\, b=10$. Так вот надо, чтобы $\[0 < \left| {x - 3} \right| < \delta \] $ влекло $\[\left| {x - 3} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\]$. Ну понятно, что если выбирать
$\[0 < \delta \left( \varepsilon \right) \le \frac{\varepsilon }{4}\]$, то $\[0 < \left| {x - 3} \right| < \delta \left( \varepsilon \right) \le \frac{\varepsilon }{4} \Rightarrow \left| {x - 3} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\]$, что и нужно.

[maxmatem]

Sasha2

Цитата:

А какой вообще смысл в этой задаче поиска дельты для епсилон, коли предел уже найден?

Вполне возможно, что тс.,решил проверить верно ли он вычислил предел, вот и воспользовался определение предела, ч\з епсилон-дельту.Но это мне так показалось

[Eiktyrnir]

ShMaxG в сообщении #370427 писал(а):

Значит, еще раз.
...
Ну понятно, что если выбирать
$\[0 < \delta \left( \varepsilon \right) \le \frac{\varepsilon }{4}\]$, то $\[0 < \left| {x - 3} \right| < \delta \left( \varepsilon \right) \le \frac{\varepsilon }{4} \Rightarrow \left| {x - 3} \right| < \frac{\varepsilon }{4}\]$, что и нужно.

Вот теперь я кажется вас начинаю понимать...
Нашел еще типовой пример здесь и успокоился...
Cпасибо огромное еще раз! Низкий вам поклон.