Математика заканчивается там, где начинаются интегралы....

[MetaMorphy]

Это утверждение я слышу в последнее время слишком часто. Не могу позволить себе не согласиться, но раз уж тема псевдо-олимпиадных задач затронута, почему бы не вспомнить кратко формулируемую задачку.

Требуется вычислить интеграл $\int_{0}^{\pi}\ln|\tg\tg x|dx$. Тангенс два раза - не опечатка. Вычислить (для буквоедов) означает выразить через известные константы и элементарные функции. Интеграл понимается в смысле Лебега, доказывать сходимость необязательно (это нетрудно).

[Полосин]

Пусть $Re\,z>0$, тогда $\int\limits_R\dfrac{\ln|t|dt}{t-iz}=2iz\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\ln t\,dt}{t^2+z^2}=2izF’(0)=i\pi\ln z$,
где $F(p)= \int\limits_0^{+\infty}\dfrac{t^pdt}{t^2+z^2}=\dfrac{\pi z^{p-1}}{2\cos(\pi p/2)}$;
$\int\limits_R\dfrac{\ln|1-(t/a)^2|dt}{t^2+1}=\dfrac{2}{a}\int\limits_R\dfrac{\ln|s-1|ds}{s^2+a^{-2}}=2\,Im\int\limits_R\dfrac{\ln|s-1|ds}{s-ia^{-1}}=\pi\ln(1+a^{-2})$,
$\int\limits_R\dfrac{\ln|t|dt}{t^2+1}=0$,
$\ln|\sin x|=\ln|x|+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left|1-\dfrac{x^2}{\pi^2n^2}\right|$, $\ln|\cos x|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left|1-\dfrac{x^2}{\pi^2(n-1/2)^2}\right|$,
$\int\limits_0^{\pi}\ln|\tg\tg x|dx=\int\limits_R\dfrac{\ln|\sin t/\cos t|)dt}{t^2+1}= \pi\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\dfrac{1+(\pi n)^{-2}}{1+(\pi(n-1/2))^{-2}}=\pi\ln\th 1$.

[MetaMorphy]

Тоже неплохой вариант ;) У меня решение основано на равенстве

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos at}{1+t^2}dt=\pi e^{-|a|}$$

и разложении $\ln|\tg t|$ в ряд по косинусам. Ответ, естественно, тот же.