Построить график, заданный параметрически

[RNT]

Помогите пожалуйста разобраться с этой задачей. Ниже приведена часть задачи. Полная задача находится тут.

Закон движения материальной точки имеет вид.

$\[\begin{gathered} x = {a_1} + {b_1}t + {c_1}{t^2} + {d_1}{t^3} \hfill \\ y = {a_2} + {b_2}t + {c_2}{t^2} + {d_2}{t^3} \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$

$\[{a_1}\]$, $\[{b_1}\]$, $\[{c_1}\]$, $\[{d_1}\]$, $\[{a_2}\]$, $\[{b_2}\]$, $\[{c_2}\]$, $\[{d_2}\]$ известны. Построить график траектории движения точки.

В учебнике математики я читал, что для построения графика необходимо сначала найти обратную $\[t(x)\]$ первой функции, затем подставить вместо $t$ во вторую функцию. В итоге получится функция $\[y(x)\]$. Но ведь это кубические функции, я не знаю как найти для нее обратную. Возможно, график надо строить совершенно другим образом. Подскажите, пожалуйста, что надо делать.

[arseniiv]

Да и не всегда есть обратная $t(x)$. Насколько я знаю, обычно берут какие-то граничные значения $t$ и какие-то ещё между ними, и потом для каждого из них находят $(x,\;y,\;z)$, ну и…

[Munin]

Вы можете найти обратную функцию графически. Вряд ли от вас требуется результат лучше чем качественный (чтобы были правильно обозначены все изгибы и извивы графика).

[ewert]

RNT в сообщении #365405 писал(а):

Построить график траектории движения точки.

Такие графики строятся поточечно. И любой матпакет умеет это делать. Но даже если и не пакет, а просто тупой мембер -- сделает это мгновенно и интуитивно. Легко: берём сначала нолик (и ставим точку на плоскость); потом сдвигаем чуток значение параметра -- ставим очередную точку; ну и т.д.

[Munin]

Перед тем, как приступать к такому поточечному построению, полезно всё-таки исследовать функции $x(t)$ и $y(t)$ на тему промежутков возрастания и убывания, чтобы понять, как минимум, на каком диапазоне строить, и каковы ожидаемые диапазоны значений.

[rotozeev]

Интересно, можно ли пользуясь ситуацией, что степень все таки 3 (забудем про методы Кардано, Феррари), и есть два уравнения, выразить $t^3$ из одного уравнения, подставить в другое, получив уже квадратное уравнение относительно $t$. Решив его мы получим что то вроде зависимости $x=x\left(\sqrt{A-B(\dfrac{d_2}{d_1}x-y)}\right)$, т.е. от параметрической формы перешли к неявной.

[ewert]

Munin в сообщении #365518 писал(а):

Перед тем, как приступать к такому поточечному построению, полезно всё-таки исследовать функции

Это само собой. Т.е. надо сперва построить графики этих двух функций, а потом уж на них и опираться. Поскольку это кубические многочлены -- графики строются легко (во всяком случае, эскизы).

Но, между прочим, "извивы" так дёшево не выловишь -- их уже придётся просчитывать честно.

rotozeev в сообщении #365543 писал(а):

т.е. от параметрической формы перешли к неявной.

Т.е. выигрыш состоит в том, что задача усложнилась.

[Утундрий]

RNT
глядя на "полную задачу" нетрудно сообразить, чтего от Вас хотят.
Вам нужно лишь подставить вместо буковок свои цифирьки и построить запрошенные графики, способом, которым учат в школе: области определение/значения, интервалы знакопостоянства/роста/выпуклости и координаты характерных точек. Всё!

Что Вам точно не нужно: привлекать для решения средства и методы выходящие за рамки первого семестра матанализа.

[Munin]

ewert в сообщении #365592 писал(а):

Но, между прочим, "извивы" так дёшево не выловишь -- их уже придётся просчитывать честно.

$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dt}{dx}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\left(\frac{dx}{dt}\right)^{-1}\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{-1}\right)=\ldots$
в чём проблема?

[ewert]

Munin в сообщении #365637 писал(а):

в чём проблема?

В технике. Придётся решать кубическое уравнение. А для исследования на монотонности -- лишь два квадратных.