вполне несвязная граница

[shwedka]

Коллеги! Как-то в голову не приходит, хотя странно было бы, если бы это было не так. А нужно...
Речь идет о множествах на плоскости. Напоминаю, что множество называется вполне несвязным, если у него нет связных подмножеств, состоящих более, чем из одной точки.
(вот Канторово, скажем, таково)
Вопрос. Имеется на плоскости замкнутое ограниченное множество положительной меры Лебега. Верно ли, что его граница НЕ является вполне несвязным множеством?? У Гелбаумса, в контрпимерах в анализе, у Харазишвили, в странных функциях, смотрела: ничего близко...

[Someone]

shwedka писал(а):

Вопрос. Имеется на плоскости замкнутое ограниченное множество положительной меры Лебега. Верно ли, что его граница НЕ является вполне несвязным множеством?? У Гелбаумса, в контрпимерах в анализе, у Харазишвили, в странных функциях, смотрела: ничего близко...

Возьмём единичный квадрат. Выбросим из него крест, площадь которого меньше $\frac 12$, чтобы остались $4$ одинаковых квадрата. Из каждого квадрата выбросим крест, площадь которого меньше $\frac 14\cdot\frac 1{2^2}$, чтобы осталось $4^2$ одинаковых квадратов. Из каждого квадрата выбросим крест, площадь которого меньше $\frac 1{4^2}\cdot\frac 1{2^3}$, чтобы осталось $4^3$ одинаковых квадратов. ... Потом берём пересечение всего, что настроили. Получается канторово совершенное множество положительной меры Лебега.

[shwedka]

Спасибо!! Но обидно!!
А если множество имеет хоть одну внутреннюю точку???

[Руст]

А какая разница?
Можно при удалении крестов не трогать некоторый центральный квадра. При несоизмеримости граница останется вполне несвязным.

[Someone]

shwedka писал(а):

Имеется на плоскости замкнутое ограниченное множество положительной меры Лебега. Верно ли, что его граница НЕ является вполне несвязным множеством??

shwedka писал(а):

А если множество имеет хоть одну внутреннюю точку???

Мера тут вообще ни при чём.

Пусть замкнутое множество $F\subset\mathbb R^2$ не совпадает со всей плоскостью $\mathbb R^2$ и имеет внутреннюю точку $x_0\in\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$. Пусть $U\subseteq\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$ - связная компонента точки $x_0$ в множестве $\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$, то есть, наибольшее связное подмножество множества $\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$, содержащее точку $x_0$. Множество $U$ открыто, так как плоскость локально связна. Тогда $\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}U\subseteq\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}F$ и $\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}U$ связна.

[shwedka]

Спасибо.
Тогда еще чуть хитрее.
Назовем внешней границей компакта на плоскости границу неограниченной компоненты его дополнения. Если у компакта есть внутренняя точка, то можно ли быть уверенным, что внешняя граница НЕ вполне несвязна?

[Someone]

Someone писал(а):

Пусть замкнутое множество $F\subset\mathbb R^2$ не совпадает со всей плоскостью $\mathbb R^2$ и имеет внутреннюю точку $x_0\in\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$. Пусть $U\subseteq\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$ - связная компонента точки $x_0$ в множестве $\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$, то есть, наибольшее связное подмножество множества $\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F$, содержащее точку $x_0$. Множество $U$ открыто, так как плоскость локально связна. Тогда $\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}U\subseteq\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}F$ и $\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}U$ связна.

А ведь наврал. С чего бы это множество $\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}U$ было связным? Совсем не обязано. Кое-какая идея есть, но ещё подумаю.

[shwedka]

Я разобралась, чтó мне, действительно, нужно: чтобы нашлось хотя бы одно нетривиальное связное подмножество нашего компакта, содержащее хотя бы одну точку внешней границы.(выглядит диковато, но без балды на этом держится одна старая задача матфизики) Это я доказать могу, если есть хотя бы одна внутренняя точка. Но показать при этом невозможность полной несвязности самой внешней границы не могу.

[Someone]

Я идиот. Это же теория размерности, мне, как топологу, не следовало об этом забывать. Если пытаться доказать нужное Вам утверждение "напрямую", то, боюсь, это будет весьма нетривиально.

Пусть у нас $F\subset\mathbb R^2$ - замкнутое подмножество, причём, $U=\mathrm{Int}_{\mathbb R^2}F\neq\varnothing$ и $V=\mathbb R^2\setminus F\neq\varnothing$. Обозначим $U_0$ и $V_0$ какие-нибудь компоненты связности множеств $U$ и $V$ соответственно. Множества $U_0$ и $V_0$ открыты, так как пространство $\mathbb R^2$ локально связно; $A_0=\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}U_0\subseteq\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}F\subset F$ и $B_0=\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}V_0\subseteq\mathrm{Fr}_{\mathbb R^2}F\subset F$.

Множества $A_0$ и $B_0$ являются перегородками между (непустыми) множествами $U_0$ и $V_0$, а в $\mathbb R^2$ перегородка между любыми двумя непустыми множествами имеет размерность не меньше единицы. Между тем, любое вполне несвязное замкнутое множество в $\mathbb R^2$ нульмерно. Поэтому $A_0$ и $B_0$ не являются вполне несвязными.

П.С.Александров, Б.А.Пасынков. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. Москва, "Наука", 1973.

[shwedka]

Спасибо, сейчас скачаю Алекс. и Пасынкова и посмотрю. Хотя в моей постановке , см. пост от Окт 15, 2006 12:23:08, это, возможно, overkill, удобнее дать ссылку вместо даже элементарного рассуждения.