Как называется эта теорема?

[Xenia1996]

Как называется теорема о том, что для любого простого числа (кроме 2 и 5) существует бесконечное множество попарно различных репьюнитов, которые делятся на это число? И кто впервые доказал эту теорему (порывшись в Сети, я ничего не нашла)?

(Оффтоп)

Не зная названия этой теоремы, я всё же предприняла попытку её доказать:

Возьмём простое число $p$, (только не 2 и не 5) и рассмотрим некоторые $p+1$ попарно различных репьюнитов. По принципу Дирихле, найдутся (хотя бы) два из них, дающие одинаковые остатки при делении на $p$. Вычтем из большего из них меньший и получим число $a$ вида $111...111000...000$. Легко видеть, что $a$ делится на $p$. Поскольку 10 взаимно просто с $p$, "откинем" все нули и получим репьюнит, делящийся на $p$. Назовём его $b$. Приписывая $b$ к самому себе различное количество раз, будем получать попарно различные репьюниты, делящиеся на $p$. Так как приписывание можно продолжать бесконечно, имеем бесконечное множество попарно различных репьюнитов, делящихся на $p$, что и требовалось доказать.

*Лично мне кажется очевидным, что данная теорема обобщаема на все натуральные числа, не делящиеся на 2 или 5. Доказательство будет почти таким же.

*Если я в чём-то тут ошиблась, буду рада тому, кто меня поправит. Заранее благодарна!

[ИСН]

Это какой-то очень частный случай малой теоремы Ферма.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #363508 писал(а):

Это какой-то очень частный случай малой теоремы Ферма.

И насколько частный?

(Оффтоп)

Но доказала-то я правильно? Или не совсем?

-- Вт окт 19, 2010 12:11:34 --

ИСН в сообщении #363508 писал(а):

Это какой-то очень частный случай малой теоремы Ферма.

И как же, позвольте спросить, вывести данную теорему из малой теоремы Ферма?
Скажем, для простого числа $p=3$, малая теорема Ферма утверждает, что существует такое целое $a$, не делящееся на $p=3$, что a^2-1 делится на 3.
Но репьюнит не может принимать форму a^2-1, поскольку квадраты на двойку не оканчиваются.

[EtCetera]

Xenia1996

Xenia1996 в сообщении #363514 писал(а):

ИСН в сообщении #363508 писал(а):

Это какой-то очень частный случай малой теоремы Ферма.

И как же, позвольте спросить, вывести данную теорему из малой теоремы Ферма?

(Например, так:)

Пусть у нас есть система счисления с основанием $B$ (которое не делится на некоторое простое число $p$). По МТФ имеем:
$\left(B^n\right)^{p-1}-1\equiv 0\mod p$
Все искомые репьюниты (для данного $p$) представимы в виде $\dfrac{B^{n(p-1)}-1}{B-1}$, где $n$ - некоторое натуральное число. Очевидно, что их бесконечное количество.

[maxal]

Проще использовать теорему Эйлера:

Для натурального $n$ с $\gcd(n,10)=1$, число $10^{\varphi(9n)k} - 1$ делится на $9n$ для любого натурального $k$, а потому $\frac{10^{\varphi(9n)k} - 1}9$ делится на $n$.