Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого

[Magazanik]

Два крестьянина владели пополам лугом совершенно круглой формы. Поднялась трава, пришло время луг косить, тут один владелец говорит другому, мол, не хочу я косить, лень мне, я лучше козу пущу, она мою половину луга сама объест. Другой удивляется: это как, она же весь луг объест? Ничего подобного, отвечает первый, у меня веревка как раз такой длины, что если привязать ее к колышку, забитому на самом краю луга, коза объест ровно половину, дальше не достанет.
Какой длины у него была веревка?

С уважением,
Лев Магазаник

PS Может, правда, что эту задачу любил Лев Толстой, а может, вранье, точно не знаю, я так в детстве слыхал, это давно было, теперь переспросить не у кого.

[arqady]

Интересно, если колышек - прямой круговой цилиндр с основанием радиуса $r$, касаюшимся внутренним образом нашего луга радиуса $R$. Верёвка же тонкая и привязана в упомянутой точке касания. Какой должна быть длина верёвки, чтобы коза съела пол луга?

[age]

Там получается сумма двух круговых секторов должна быть $\dfrac{\pi R^2}{2}$. Сами сектора у меня получились сложными функциями через арксинус от $x$. Примерно так:
$S_1=\dfrac{R^2}{2}\arcsin{\left(\dfrac{x\sqrt{4R^2-x^2}\sqrt{4R^4-x^2(4R^2-x^2)}}{2R^4}\right)}-\dfrac{x\sqrt{4R^2-x^2}\sqrt{4R^4-x^2(4R^2-x^2)}}{4R^2}$

Выразить $x$ через $R$ к сожалению не удалось. Приближенный ответ x=1,26557R.
Должно быть другое, более красивое решение.

[powerZ]

Тупо интегрируя площади под сегментами кругов
(поляна - радиус $R$, длина веревки - $r$)

$\int_{0}^{r^2/(2R)} \sqrt{R^2-(x-R)^2} dx+\int_{r^2/(2R)}^{r} \sqrt{r^2-x^2} dx = \pi R^2/4$

Увы, удалось вытащить из MathCADa только такое вот численное решение: $r=1.159R$

Чего-то не сходится у нас

[venco]

powerZ в сообщении #364297 писал(а):

Увы, удалось вытащить из MathCADa только такое вот численное решение: $r=1.159R$

У меня ответ такой же:
$x=2\cos{\frac{\omega}2}$
где
$\omega \cos \omega = \frac {\pi} 2 + \sin \omega$

(PS)

Задача не понравилась.

[age]

powerZ
Проверил визуально не чертеже - у Вас красивее. Видимо где-то с арксинусами напутал.

[age]

venco в сообщении #364299 писал(а):

где
$\omega \cos \omega = \frac {\pi} 2 + \sin \omega$

Потеряли минус перед $\frac{\pi}2$.

venco в сообщении #364299 писал(а):

Задача не понравилась.

Ну двоим крестьянам делить не интересно, а какова будет длина веревки, если их будет 7 человек?

[svv]

Я тоже подумал, что venco ошибся в знаке. Но формально ошибки нет: его $\omega$ будет ту же абсолютную величину и знак, противоположный Вашему углу (может, он так его определял), а на $x$ это не повлияет.