Базис Гамеля и функциональное уравнение

[caxap]

Верещагин, Шень в книге ''Начала теории множеств'' писал(а):

Теорема. Существует (всюду определённая) функция $f\colon \mathbb R\hm\to\mathbb R$, для которой $f(x+y)\hm=f(x)\hm+f(y)$ при всех $x$ и $y$, но которая не есть умножение на константу.

Рассмотрим $\mathbb R$ как векторное пространство над полем $\mathbb Q$. В нём есть базис Гамеля. Пусть $\alpha$ -- один из векторов базиса. Рассмотрим функцию $f$, которая с каждым числом $x$ (рассматриваемым как вектор в пространстве $\mathbb R$ над полем $\mathbb Q$) сопоставляет его $\alpha$-координату (коэффициент при $\alpha$ в единственном выражении $x$ через векторы базиса). Эта функция линейна над $\mathbb Q$, поэтому $f(x+y)=f(x)\hm+f(y)$ для всех $x,y\hm\in\mathbb R$. Она отлична от нуля ($f(\alpha)=1$) и принимает лишь рациональные значения, поэтому не может быть умножением на константу.

Не могли бы вы пояснить, что значит векторное пространство над полем $\mathbb Q$? И ещё последнее предложение не понятно.

[AD]

Векторное_пространство же (:
А что не так с последним предложением?

[caxap]

А какой там будет базис? Сколько в него будет векторов входить? Один?

AD в сообщении #363324 писал(а):

А что не так с последним предложением?

Почему функция отлична от нуля, принимает рац. значения и почему она не может быть умножением на константу?

[Padawan]

caxap в сообщении #363336 писал(а):

А какой там будет базис? Сколько в него будет векторов входить? Один?

Континуум

[id]

Цитата:

принимает рац. значения

Потому что векторное пространство над $\mathbb{Q}$

[BapuK]

если бы функция являлась умножением на константу, то мы должны будем в области значений получить множество всех действительных чисел( ну если константа не ноль конечно ), а получаем только его подмножество

[caxap]

Спасибо, я уже разобрался более-менее. Просто до этого под базисом понимал что-то "обычное", типа $\vec i,\vec j,\vec k$, а тут представить сложно.

--------

Не буду создавать новую тему, но вспомнилось: по теореме Цермело даже множество мощности континуум можно вполне упорядочить. Не могу этого представить, хоть убейте (до параграфа "Теорема Цермело" (в Верещагине, Шене) понимал вполне упорядоченные мн-ва как "что-то типа $\mathbb N$"). Помогите пожалуйста создать какой-то образ, а то совсем абстрактно я, к сожалению, думать не умею.

---------

Да простят меня модераторы, но создавать тему для таких маленьких вопросов не хочется, поэтому спрошу тут: трансфинитная индукция работает только с вполне упор. мн-вами? фундированные не пойдут? почему?

[Padawan]

caxap в сообщении #363967 писал(а):

по теореме Цермело даже множество мощности континуум можно вполне упорядочить. Не могу этого представить, хоть убейте

Лучше даже не пытаться, здоровее будете .
Я представляю так : раз, два, ..., $\omega$, $\omega+1$, ..., континуум.

[caxap]

Padawan
А что такое $\omega+1$? Натуральное множество и ещё единичка?
И не могли бы поподробнее описать, что там в последнем троеточии?

[ИСН]

О, там бездны!

[Виктор Викторов]

Padawan в сообщении #363974 писал(а):

caxap в сообщении #363967 писал(а):

по теореме Цермело даже множество мощности континуум можно вполне упорядочить. Не могу этого представить, хоть убейте

Лучше даже не пытаться, здоровее будете .

И подробно рассмотрите доказательство теоремы Цермело. Вот здесь topic24612.html и по П. С. Александрову "Введение в теорию множеств и общую топологию".

caxap в сообщении #363980 писал(а):

Padawan
А что такое $\omega+1$? Натуральное множество и ещё единичка?

$\omega+1$ - это тип (порядковое число) вполне упорядоченного множества {1, 2, 3, ..., g}

[Joker_vD]

Цитата:

по теореме Цермело даже множество мощности континуум можно вполне упорядочить. Не могу этого представить, хоть убейте

А что тут такого? Насколько мне известно, $\mathbb R$ вполне упорядочено.

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #363989 писал(а):

Цитата:

по теореме Цермело даже множество мощности континуум можно вполне упорядочить. Не могу этого представить, хоть убейте

А что тут такого? Насколько мне известно, $\mathbb R$ вполне упорядочено.

Множество мощности континуум можно вполне упорядочить только, если Вы принимаете аксиому выбора. И судя по Вашему замечанию, Вы легко можете это доказать. $\mathbb R$ в естественном порядке не вполне упорядочено. $(3, 7)$ не имеет первого элемента.

[Padawan]

Joker_vD
Возможно, Вы перепутали линейную упорядоченность с полной упорядоченностью.

[Joker_vD]

Да, действительно. Извиняюсь. Просто термины очень уж... неподходящие.