Равенство с логарифмами

[rederblack]

Здравствуйте. Дан следующий пример: $2^{log_{2}(x)-1} = \frac{log_{2}(x)}{2}$ Нужно узнать равны они или нет.
Попытки решения:
$2^{log_{2}(x)-log_{2}(2)} = \frac{log_{2}(x)}{2}$
$2^{log_{2}(\frac{x}{2})} = \frac{log_{2}(x)}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{log_{2}(x)}{2}$
$x = log_{2}(x)$
Значит они не равны или здесь допущена ошибка?

[caxap]

Конечно не равны. Если подставить $x=1$, то слева будет $1/2$, а справа -- $0$.

[Виктор Викторов]

rederblack в сообщении #363918 писал(а):

$2^{log_{2}(x)-1} = \frac{log_{2}(x)}{2}$

Это выглядит как уравнение. И вопрос должен быть поставлен так: существуют ли такие числа, что если подставить их в данное уравнение, то уравнение превратится в равенство. Если такие числа существуют, то найти их (причем все).

[rederblack]

Забыл добавить, $x \ge 2$

edit: Похоже на $x = 2^n$, но каким образом доказать?

[Виктор Викторов]

Попробуйте рассмотреть задачу как уравнение причем при любых $x$. Скучно не будет.

[caxap]

rederblack в сообщении #363950 писал(а):

edit: Похоже на $x = 2^n$, но каким образом доказать?

Нет.

(Оффтоп)

Виктор Викторов
Вряд ли в задании подразумевалось уравнение, ибо оно не решается в элементарных функциях (можно, конечно, выразить через функцию Ламберта, но это ничем не лучше, чем сказать $x=$ корню уравнения $x=2^x$).

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #363961 писал(а):

Виктор Викторов
Вряд ли в задании подразумевалось уравнение, ибо оно не решается в элементарных функциях (можно, конечно, выразить через функцию Ламберта, но это ничем не лучше, чем сказать $x=$ корню уравнения $x=2^x$).

Давайте жить проще. Построим графики левой и правой части $x=2^x$ (учитывая область допустимых значений).

[caxap]

(Оффтоп)

Виктор Викторов в сообщении #363971 писал(а):

Давайте жить проще. Построим графики левой и правой части

ага, извиняюсь

[ewert]

У Вас фактически уравнение $2^t=t$ с ограничением $t\geqslant1$. Очевидно, что левая часть в начальной точке больше правой, и производная левой части на всей полуоси тоже больше, чем производная правой.

Впрочем, и на всей оси тоже довольно легко доказать, что решений нет. Достаточно посмотреть, что будет в единственной точке экстремума. Хотя технически проще указать на то, что нет решения левее единицы (что вообще очевидно).