Множество натуральных чисел

[Руст]

Определить множество натуральных чисел n, для которых разрешимо диофантово (точнее приводимое к нему) уравнение в натуральных числах:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{n}{x_n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$

[Macavity]

Руст писал(а):

Определить множество натуральных чисел n, для которых разрешимо диофантово (точнее приводимое к нему) уравнение в натуральных числах:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+...+\frac{n}{x_n}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}.$$

По крайней мере сразу видны решения для n=1;2;8.

[Руст]

При n=1 тривиальное решение. А какие решения при n=2 и 8?

[ИСН]

Я тупой, наверное, но решений для 2 в упор не вижу.
Upd. Для 8 - например, вот: (2,4,6,4,5,12,7,8).

[RIP]

Для n=2 решений нет.

[Macavity]

Руст писал(а):

При n=1 тривиальное решение. А какие решения при n=2 и 8?

Да для n=2, я ошибся.
А для n=8, самое простое когда все x=6

[ИСН]

Ах, так! Чёрт, а я сидел, придумывал что-то. Тогда для n=49, например, тоже есть решение, в котором все иксы - по 35.
Но это нас мало приближает к пониманию общего случая...

[juna]

Полагаю, что это будет, когда $\frac{n(n+1)}{2}$ есть квадрат целого числа.

[Руст]

Соответственно n квадрат или удвоенный квадрат, все они получаются по рекурентной формуле: $n_0=0,n_1=1, n_{k+1}=6n_k-n_{k-1}+2.$
Они получаются, когда все х равны. Вопрос в том, существуют ли другие решения.

[незваный гость]

Например, $n = 4,6,8,18,28,36,50,56,60...$. Примеры строятся так: для половины полагаем одно значение, для второй половины -- другое.

А вообще, n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 52, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100... Эти числа получаются, если искать решение в виде $x_k = a, k = 1,...m;$ $x_k = b, k = m+1,...n$.

На взгляд, исключения составляют либо простые, либо удвоенные простые (но не все). Впрочем, я не гарантирую, что приведенный выше список полон.

P.S. Руст, а Вы знаете ответ? или это открытый вопрос?

[juna]

В правой части уравнения - функция, инвариантная к перестановке корней. Ясно, что при всех одинаковых x функция левой части также инвариантна. Проще рассматривать такое уравнение: $x_2x_3...x_n+2x_1x_3...x_n+3x_1x_2x_4..x_n+nx_1x_2...x_{n-1}=\frac{x_1x_2x_3...x_n(x_1+x_2+x_3+x_n)}{n}$. Для всех различных x она инвариантна при $x_1=1,x_2=2,x_3=3,...x_n=n$, но это дает тривиальное решение $n=1$. Впрочем инвариантность не обязана соблюдаться для левой части. Достаточно просто брать два, три... различных корня и искать решение получающегося диофантова уравнения. Каких-то существенных ограничений я не вижу и похоже лучше искать $n$, при которых это уравнение неразрешимо. Интересно рассмотреть случаи, когда левая часть среди $n!$ перестановок корней принимает два или несколько одинаковых значений.
Если же все $n$ значений одинаковы, то нужно искать все $n$ целочисленных решений уравнения: $x^n+a_1x^{n-1}+...+\frac{2a_1a_n}{n(n+1)}x+a_n=0$

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
P.S. Руст, а Вы знаете ответ? или это открытый вопрос?

Я раньше не решал задачу. Сейчас доказал, что среди чётных исключением является только n=2, все числа вида 4k+1 так же дают разрешимое уравнение. А вот есть ли исключения среди нечётных чисел вида 4k+3 я ещё не знаю.

[worm2]

Если n=2k-1 --- нечётное, то $x_k=1$, $x_i=2k, i \ne k$ --- решение.

Добавлено спустя 28 минут 34 секунды:

Если n=2k --- чётное, большее 2 (k>1), то $x_{k-1}=1$, $x_i=2k, i \ne k-1$ --- решение.

[Руст]

Ваш пример проще моего. По пути, по которой я пошёл, надо было разделить n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3. Соответственно я нашёл решение (похожее на вашу) и для всех нечётных n.

[Руст]

Оказывается, я забыл основное условие: все х(i) должны быть различными натуральными числами. А это несколько усложнякт задачу. Например единое (для всех нечётных) решение для n=3 , без этого условия (4,1,4) надо заменить на (2,1,6). По видимому, и здесь имеется решение для всех n>2. Легко найти для n=8k+4.