Эндоморфизм + биекция

[Профессор Снэйп]

Довольно простая задача, но всё же закину...

Пусть $\mathcal{P} = \langle P, \leqslant \rangle$ --- частично упорядоченное множество и $\varphi: P \to P$ --- отображение из $P$ в $P$. Тогда $\varphi$ называется эндоморфизмом, если

$$ (\forall x,y \in P)(x \leqslant y \rightarrow \varphi(x) \leqslant \varphi(y)). $$

Также $\varphi$ называется автоморфизмом, если $\varphi$ --- биекция, и отображения $\varphi$, $\varphi^{-1}$ --- эндоморфизмы.

Пусть $\varphi$ есть эндоморфизм и биекция.

1) Доказать, что если порядок линейный, то $\varphi$ является автоморфизмом.
2) Показать, что в общем случае $\varphi$ --- не обязательно автоморфизм.
3) Доказать, что если множество $P$ конечно, то $\varphi$ обязательно является автоморфизмом.

P. S. Есть ощущение, что уже давал эту задачу, но сходу найти не могу. Может, не на этом форуме?

[Null]

1) Вроде просто
2) возьмем $N=\{i_1\}$ - упрорядоченное и $N=\{i_2\}$ не упорядоченное
$\varphi(i_1)=(i+1)_1$
$\varphi(1_2)=(1)_1$
$\varphi(i_2)=(i-1)_2$
3)Количество пар сравнимых не могло возрасти.

[Профессор Снэйп]

А при каких условиях непрерывная биекция топологического пространства на себя будет гомеоморфизмом?

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #363924 писал(а):

А при каких условиях непрерывная биекция топологического пространства на себя будет гомеоморфизмом?

Если отображение открыто (образ открытого открыт) или замкнуто (образ замкнутого замкнут). В частности, второе выполнено, если пространство является компактом (хаусдорфовым).

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #363941 писал(а):

если пространство является компактом (хаусдорфовым).

А хаусдорфовость здесь разве по делу?

[Padawan]

Компакт замкнут в любом объемлющем хаусдорфовом.