Линейно независимые векторы

[serval]

Дан вектор $\vec n=(1,7,12,6)$. Считая его вектором нормали гиперплоскости, найти $3$ линейно независимых вектора принадлежащих этой гиперплоскости.
При этом, один вектор можно считать известным - это $(\ 1,-1,\ 1,-1\ )$. Но можно его и не считать - по желанию.
Есть ли алгоритм вычисления таких векторов (без подбора руками)?

Вроде бы, ничего сложного, а с ходу уже один раз ошибся. Даже два раза.

[Xaositect]

Пишем определение нормальности $(n, x) = 0$
Расписываем его как линейное уравнение $n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3x_3 + n_4x_4 = 0$
И решаем.

[serval]

А как мы решаем одно уравнение с четырьмя неизвестными?

[Xaositect]

serval в сообщении #363545 писал(а):

А как мы решаем одно уравнение с четырьмя неизвестными?

Как обычно, выражаем одно из неизвестных через три других и получаем три линейно независимых решения, если этим трем исходным придать линейно независимые значения, напр. (0,0,1) (0,1,0) и (1,0,0)
У Вас аналитическая геометрия раньше алгебры идет?

[serval]

Xaositect в сообщении #363483 писал(а):

Пишем определение нормальности $(n, x) = 0$

$(\vec n,\vec x)=0$, где $\vec n=(1,7,12,6)$ - написал,

Xaositect в сообщении #363483 писал(а):

Расписываем его как линейное уравнение $n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3x_3 + n_4x_4 = 0$

$x_1 + 7\cdot x_2 + 12\cdot x_3 + 6\cdot x_4 = 0$ - расписал,

Xaositect в сообщении #363550 писал(а):

выражаем одно из неизвестных через три других

$$x_1 =-(7\cdot x_2 + 12\cdot x_3 + 6\cdot x_4),\ x_2=-\frac{1}{7}(x_1 + 12\cdot x_3 + 6\cdot x_4),\ x_3=-\frac{1}{12}(x_1 + 7\cdot x_2 + 6\cdot x_4),\ x_4=-\frac{1}{6}(x_1 + 7\cdot x_2 + 12\cdot x_3)$$

- выразил,

Xaositect в сообщении #363550 писал(а):

и получаем три линейно независимых решения, если этим трем исходным придать линейно независимые значения, напр. (0,0,1) (0,1,0) и (1,0,0)

- не понял.

Как это сделать? Пожалуйста, покажите.

[Joker_vD]

Одно неизвестное через три других, а не все четыре через три среди них же.

Вот у вас есть $x_1 = - 7x_2 - 12x_3 - 6x_4$. Теперь найдите $x_1$ для таких векторов: $(x_1, 1, 0, 0)$, $(x_1, 0, 1, 0)$, $(x_1, 0, 0, 1)$. Получивишеся три вектора будут линейно независимы

[serval]

Большое спасибо за объяснения.
Получились векторы $(-7,1,0,0),\ (-12,0,1,0),\ (-6,0,0,1)$.
На всякий случай - я больше нигде не натупил?