Вычислить значение монотонной функции

[Руст]

Относительно функции $f(x):[0,1]\to [0,1]$ известно, что она монотанная и удовлетворяет условиям:
$f(\frac x3 )=\frac 12 f(x), \ \ f(1-x)=1-f(x).$
Докажите, что эти условия однозначно определяют функцию f(x) и вычислите f(0.99).

[RIP]

Во-первых, f(0,5)=1-f(0,5)=0,5.
Далее, $f(\frac1{2\cdot3^k})=\frac1{2^k}f(0,5)=\frac1{2^{k+1}}$,
$f(1-\frac1{2\cdot3^k})=1-\frac1{2^{k+1}}$,
$f(\frac13-\frac1{2\cdot3^{k+1}})=\frac12-\frac1{2^{k+2}}\qquad\Rightarrow\lim\limits_{x\to1/3-0}f(x)=0,5$;
$f(\frac23+\frac1{2\cdot3^{k+1}})=\frac12+\frac1{2^{k+2}}\qquad\Rightarrow\lim\limits_{x\to2/3+0}f(x)=0,5$;
След-но, на отрезке [1/3;2/3] $f(x)\equiv0,5$.
Пусть для некоторого натурального n известно значение функции f на отрезках вида $[\frac{k}{3^n};\frac{k+1}{3^n}]$, $k\equiv1\pmod3$, $k<3^n$. Рассмотрим отрезочег $[\frac{k}{3^{n+1}};\frac{k+1}{3^{n+1}}]$, $k\equiv1\pmod3$, $k<3^{n+1}$. Если $k<3^n$, то это образ отрезка $[\frac{k}{3^n};\frac{k+1}{3^n}]$ под действием отображения $x\mapsto x/3$. Если $k>2\cdot3^n$, то это образ отрезка $[1-\frac{k+1}{3^n};1-\frac{k}{3^n}]$ под действием $x\mapsto1-x$. Если же $3^n<k<2\cdot3^n$, то это подотрезочек отрезка [1/3;2/3]. Итак, функция однозначно определена на отрезках вида $[\frac{k}{3^n};\frac{k+1}{3^n}]$, $n\in\mathbb{N}$, $k\equiv1\pmod3$, $k<3^n$.
Следовательно, она совпадает с известной "лестницей Кантора".

Добавлено спустя 9 минут 4 секунды:

Если не наврал в вычислениях, то 2/3+2/9+2/27+2/81+0/243+1/729<0,99<2/3+2/9+2/27+2/81+0/243+2/729, след-но, f(0,99)=1/2+1/4+1/8+1/16+0/32+1/64=лень досчитывать.

[Руст]

Развечто можно добавить функция f(x) непрерывна и явно вычисляется значение f(x) в двоичной системе разложением х в троичной системе:
$x_{(3)}=0,x_1x_2x_3... \ \ f(x)_{(2)}=0,y_1y_2y_3...$
При этом достаточно х разложить до встречи цифры 1. Двоичные цифры числа f(x) получаются заменой троичных цифр х равных 2 на 1 и после встречи цифры 1 в записи х, все последующие цифры f(x) обнуляются. Если в записи х не встетится цифра 1, то этот процесс продолжается до бесконечности. Интересно так же, что эта функция принимает рациональные значения при всех рациональных значениях аргумента. Например $f(\frac{4}{13})=\frac{3}{7}, \ (\frac{4}{13})_{(3)}=0,022022022...$