Нормальные числа

[Xenia1996]

Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Чему равна наибольшая (по модулю) разность между двумя соседними нормальными шестнадцатизначными числами?

[Руст]

Вы задаете в этом разделе одни очевидные детские задачи. На мой взгляд они не тянут на раздел олимпиадных.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #363173 писал(а):

Вы задаете в этом разделе одни очевидные детские задачи. На мой взгляд они не тянут на раздел олимпиадных.

(Оффтоп)

Нет проблем. Больше не буду. Бай!

[age]

(Оффтоп)

Xenia1996
Ну зачем так? Просто задайте Руст задачку раз в десять сложнее
Положим, существуют ли нормальные шестнадцатизначные четырехзначные числа сумма квадратов которых - простое число.

[Руст]

age в сообщении #363182 писал(а):

Положим, существуют ли нормальные шестнадцатизначные четырехзначные числа сумма квадратов которых - простое число.[/off]

Что подразумеваете под словом нормальные?
Под суммой квадратов наверно имеете в виду сумма квадратов цифр данного числа.
Пример $10^{15}+1$ вас устроит? (2 ведь простое).

[age]

Xenia1996 в сообщении #363169 писал(а):

Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах.

Вот такие вот "нормальные".
Вернее не так (с простыми числами долго и нудно).
Смысл такой: пусть $A_4$ $B_4$, $C_4$ - четырехзначные "нормальные" числа. Найти $C_4^2=A_4^2+B_4^2$.

[Xenia1996]

Xenia1996 в сообщении #363169 писал(а):

Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Чему равна наибольшая (по модулю) разность между двумя соседними нормальными шестнадцатизначными числами?

Прошу прощения, я перепутала! Я имела в виду "счастливость по-московски", а написала "по-ленинградски". Не сумма цифр на чётных и нечётных местах, а сумма первых восьми цифр равна сумме последних.

(Оффтоп)

И тогда ответ, вроде, получается 100000001

[Xenia1996]

Руст в сообщении #363173 писал(а):

Вы задаете в этом разделе одни очевидные детские задачи. На мой взгляд они не тянут на раздел олимпиадных.

Если сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, то число делится на 11. Но вот обратное утверждение...

Так что же тут детского?

[age]

Про делимость на $11$ я забыл, мои задачи снимаются.

Xenia1996 в сообщении #363200 писал(а):

Но вот обратное утверждение...

Верно и обратное (неверно из-за переносов разрядов).

(Доказательство)

Пусть число $A$ делится на $11$, и пусть частное от деления $B=10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d$.
Умножим его на $11$:
$11B=[10^{k+1}a+10^kb+...+10^2c+10d]+[10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d]$.
Можете сами убедиться что у последней суммы в правой части суммы цифр на четных и нечетных местах равны, и равны $a+b+...+c+d$
Увы, неверно, забыл про переносы разрядов через значение $10$.

[ewert]

age в сообщении #363203 писал(а):

Верно и обратное.

Нет.

[Xenia1996]

age в сообщении #363203 писал(а):

Про делимость на $11$ я забыл, мои задачи снимаются.

Xenia1996 в сообщении #363200 писал(а):

Но вот обратное утверждение...

Верно и обратное.

(Доказательство)

Пусть число $A$ делится на $11$, и пусть частное от деления $B=10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d$.
Умножим его на $11$:
$11B=[10^{k+1}a+10^kb+...+10^2c+10d]+[10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d]$.
Можете сами убедиться что у последней суммы в правой части суммы цифр на четных и нечетных местах равны, и равны $a+b+...+c+d$

Не-а! Вот контрпример: 40007

[TOTAL]

Xenia1996 в сообщении #363169 писал(а):

Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Чему равна наибольшая (по модулю) разность между двумя соседними нормальными шестнадцатизначными числами?

Попробую отгадать: $10^7-10^5.$ Кто больше?
$10^8-10^6$

[age]

У меня меньше получилось (шести-значные): $999999-100001=899998$

[MrDindows]

age, в задании говорится про соседние нормальные числа, а ваши далеко не являются соседними)

(Оффтоп)

Полагаю это числа 9999999999999999 и 9999999899999998, тогда разница- $10^8+1$

Вообще ответ напрашивается сразу, но вот как сформулировать точное доказательство - тут уже возникают некоторые проблемы)

2Руст. Может быть для вас такие задания и являются простыми, но они олимпиадные, так как не являются школьными...

[TOTAL]

MrDindows в сообщении #363241 писал(а):

age, в задании говорится про соседние нормальные числа, а ваши далеко не являются соседними)

(Оффтоп)

Полагаю это числа 9999999999999999 и 9999999899999998, тогда разница- $10^8+1$

Вообще ответ напрашивается сразу, но вот как сформулировать точное доказательство - тут уже возникают некоторые проблемы)

9999999899999998+2=9999999900000000 - вот одна проблема