Бросок под углом к горизонту.

[clerkx]

В одном из задачников по физике встретилась следующая задача.
Тело брошено под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $V_0$. Найти зависимость от времени $t$ угла $\beta$ между вектором скорости и горизонтом. В ответе к этой задаче зависимость выглядит так: $\tg\beta = \tg\alpha - \frac {gt}{V_o\cos\alpha}$.
Но это все-таки зависимость тангенсов углов, а не самих углов. Поэтому, чтобы найти зависимость именно углов, я рассуждал так: рассмотрим окружность с центром в т. $O$, которая также является центром пересечения осей $Ox$ и $Oy$ и радиусом $V_0\cos\alpha$, т.к. это наименьшая скорость которую тело достигает в полете. При этой скорости угол с горизонтом равен $0$. Угловая скорость движения точки по этой окружности и будет скоростью изменения угла. Для того, чтобы ее найти я провел касательную к этой окружности, параллельную оси $Oy$. Движение по этой касательной соответствует вертикальному перемещению тела. А длина и угол отрезка от центра окружности до точки на этой касательной соответствуют длине и углу вектора скорости. Отсюда можно заключить, что когда тело падает на длину радиуса окружности, точка на ней проходит $1/8$ ее длины. Это происходит за время равное $t = \sqrt{\frac{2V_0\cos\alpha}{g}}$, значит линейная скорость равна $V_l = \frac{\pi V_0\cos\alpha}{4 \sqrt{\frac{2V_0\cos\alpha}{g}}}$ и т.д. После всех преобразований у меня получилась следующая зависимость: $\beta = \alpha - \sqrt{\frac{g}{V_o\cos\alpha}} \frac{\pi t}{8}$.
Вопрос в том, верны ли мои рассуждения и верная ли в результате получилась формула?

[Андрей123]

$\cos\beta=\frac{<\overrightarrow{v},\overrightarrow{e_x}>}{v}=\frac{v_0 \cos \alpha}{\sqrt{(v_0 \cos \alpha)^2+(v_0 \sin \alpha-gt)^2}}$. Дальше преобразования.

[Архипов]

clerkx в сообщении #362974 писал(а):

В одном из задачников по физике встретилась следующая задача.
Тело брошено под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $V_0$. Найти зависимость от времени $t$ угла $\beta$ между вектором скорости и горизонтом. В ответе к этой задаче зависимость выглядит так: $\tg\beta = \tg\alpha - \frac {gt}{V_o\cos\alpha}$.
Но это все-таки зависимость тангенсов углов, а не самих углов.
Вопрос в том, верны ли мои рассуждения ?

Зависимость угла от времени и прочих постоянных:
$\beta(t) =arctg( \tg\alpha - \frac {gt}{V_o\cos\alpha})$