вычисление предела с помощью формулы тейлора

[newbie901]

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{ x-ln(x-\sqrt{1+x^2})}{x-sin x}$$

Не знаю как решить, посмотрел ряды некоторых функций, понял что делать с синусом , а вот логарифм и корень не могу додумать как и куда подставить или надо новую что ли формулу выводить?

[Padawan]

У Вас под логарифмом величина к $-1$ стремится. Нехорошо.

[ewert]

$\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=\ln\left(1+x+{1\over2}x^2+O(x^4)\right).$

Как раскладывается $\ln(1+t)$?... Разложите до третьей степени включительно, подставьте $t=x+{1\over2}x^2+O(x^4)$ и раскройте скобки, учитывая только члены опять же до третьей степени включительно. Квадраты там сократятся, а за ними и первые степени.

[newbie901]

т.е. в $ln(1+t)=t-{t^2\over2}+{t^3\over3}$ и вместо t подставить $t=x+{1\over2}x^2+O(x^4)$? т.е. $x+{1\over2}x^2+O(x^4)-{(x+{1\over2}x^2+O(x^4))^2\over2}+{(x+{1\over2}x^2+O(x^4))^3\over3}$

?
на лекции был, но не понял

[ewert]

Да. Теперь тупо раскрывайте скобки в числителях, учитывая там только члены второй и третьей степени. Их и всего-то три окажется -- все остальные будут иметь порядок не ниже четвёртого и поэтому на ответ не повлияют.

[newbie901]

а как умножаются числа, цифры на $O(x^4)$

[Joker_vD]

newbie901
Ууу... свойства символов Ландау надо знать. В частности, если $f(x) = O(x^n)$, то для любого $c \neq 0$ верно $cf(x) = O(x^n)$.

(Оффтоп)

Вообще, запись $f(x) = O(g(x))$ не самая удачная, ведь из $f_1(x) = O(g(x)), \quad f_2(x) = O(g(x))$ вовсе не следует $f_1(x) = f_2(x)$. Вернее было бы писать $f(x) \in O(g(x))$, но...