Дифференцирование обобщённых функций

[DFooz]

Помогите пожалуйста с дифференцированием обоб. ф.
$y=\{ x^2, |x|\le1; 0,|x|>1\} $
Ответ $y'=\delta(x-1)+\delta(x+1)+2x\theta(1-|x|)$
По определению из Владимирова $y'=y'_{cl}+\sum_{k} [f]_{x_{k}}\delta(x-x_k)$
, где $y'_{cl}$ -классическая производная функции при $x \ne x_{k}$, не определена в $x_{k}$
Как получают эту классическую производную? Для неё получается система $y'_{cl}=\{ 2x, |x|\le1; 0,|x|>1\} $
В ответе $y'_{cl}=2x\theta(1-|x|)$ Каким образом они получили это $2x\theta(1-|x|)$. Смотрели на график и пробовали подогнать с помощью ф-ии Хевисайда?

Далее вторая производная: $y'' =2\delta(x+1)+2\delta(x-1)+\delta'(x+1)+\delta'(x-1)+2\theta(1-|x|)$$ Но ведь по правилам классич дифференцирования вроде должно быть $y''=...+2\theta(1-|x|)+2x\theta'(1-|x|)$ Куда дели $2x\theta'(1-|x|)$?

[Alexey1]

Обобщённые функции дифференцируют следующим образом. Пусть $\phi(x) \in C_0^{\infty}(\mathbb R)$, то есть тест функция со всеми непрерывными производными и с ограниченным носителем. Тогда производная обобщённой функции $f(x)$ вычисляется по правилу:
$\int_{\mathbb R} f'(x)\phi(x)dx=-\int_{\mathbb R} f(x) \phi'(x) dx$.
С учётом того, что $\theta'(x)=\delta(0)$.
Например, для $f(x)=|x|$ производная равна
$\int_{\mathbb R} |x|' \phi(x)dx=-\int_{\mathbb R} |x| \phi'(x) dx=$
$=\int_{-\infty}^{0} x \phi'(x) dx - \int_{0}^{\infty} x \phi'(x)dx=$
$=x\phi(x) \Big|_{-\infty}^{0} -\int_{-\infty}^{0} \phi(x)dx -x\phi(x) \Big|_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty} \phi(x)dx=$
$=\int_{0}^{\infty} \phi(x)dx-\int_{-\infty}^{0} \phi(x)dx=\int_{\mathbb R} \theta(x) \phi(x)dx+\int_{\mathbb R} (\theta(x)-1) \phi(x)dx=$
$=\int_{\mathbb R} (2\theta(x)-1) \phi(x)dx$.
Отсюда получаем, что $|x|'=2\theta(x)-1$.
В Вашем случае $f(x)=(\theta(x+1)-\theta(x-1))x^2$.

[ewert]

DFooz в сообщении #362632 писал(а):

Куда дели $2x\theta'(1-|x|)$?

А это превращается в парочку удвоенных дельта-функций. Другое дело, что неверно найдена самая первая производная (там дельта-функции должны идти с разными знаками).

[DFooz]

Спасибо за пояснения, начинаю понимать. Получается для первой произв.$x^2\delta(x+1)=\delta(x+1)$ для второй$2x\theta'(1-|x|)=2\delta(1-|x|)$? А $x$ куда делись? Я правильно понимаю, произведение ф-ии из $R^1$ или $R^n$ на дельта-фун. даёт дельта-фун.?

[Alexey1]

Одним из свойств дельта-функции является $f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)$.
Что касается дифференцирования, то $(\theta(x)f(x))'=\delta(x)f(0)+\theta(x)f'(x), \ f \in C^1(\mathbb R)$.

[DFooz]

спасибо