Система неравенств с целой частью.

[MrDindows]

Верно ли, что система неравенств:
$\frac {a} {b}\geq[\frac {a+0.5} {b}]+0.5 $
$\frac {a+1} {b}\geq[\frac {a+1.5} {b}]+0.5$
$a \in N, b\in R^+$

не имеет решений?) И как это доказать?)

Саму систему составил при решении одной задачи, поэтому даже в том, что решений нету, я не особо уверен) Ну и доказательство не очень сильно продвигается((
Подкиньте пожалуйста идейку, какими превращениями здесь лучше избавиться от целой части и верно ли вообще моё предположение?

зы. $[x]$ -найбольшее целое число, не превосходящее $x$

[Руст]

Очевидно же, что при неотрицательном а и положительном в, ни первое, ни второе никогда не выполняется.

[gris]

Можно рассмотреть функцию
$f(n)=\dfrac {n} {b}-\left[\dfrac {n+0.5} {b}\right]+0.5 $
и посмотреть на её знак при различных $b$.
А так при $b>2$ решения есть. Например, $(3;5)$.
Можно так поставить задачу: найти $b$ при которых одно уравнение имеет решение, система из двух, трёх и так далее имеет решение.

[TOTAL]

MrDindows в сообщении #361493 писал(а):

не имеет решений?) И как это доказать?)

$b$ - дост. большое, $a=nb-2$ - чем не решение?

[Руст]

А я принял квадратные скобки за абсолютные величины. При $b\le 1$ неравенства не имеет решений. Если $b>1$ обозначим через $c=\frac{b+1}{2b}<1$. Тогда условия эквивалентны следующим:
$\{\frac{a+0.5}{b}\}\ge c, \ \{\frac{a+1,5}{b}\}\ge c.$
А это возможно только в случае $c\le \{\frac{a+0.5}{b}\}<1-\frac{1}{b}$, т.е. только при $b>3$. В этом случае оно эквивалентно
$(k+0.5)b\le a<kb+b-1.5$.
Для каждого иррационального $b>3$ найдется бесконечно много натуральных а, удовлетворяющих этим соотношениям. Для рациональных $b=\frac{p}{q}$ надо проверять $(2k+1)p\le 2aq<(2k+2)p-3$ так же ответ положительный.

[MrDindows]

Мм, мда, всё-таки не так составил неравенства...Вообще эту систему создавал для 1<=b<=2 и, как я понял, для этого случая, решений всё-таки нету) И неудачно обобщил...

Задания базового тура Турнира Городов уже можно обсуждать?) Так как через это я как раз пытался решить первую задачу)

[Виктор Викторов]

MrDindows в сообщении #361493 писал(а):

Верно ли, что система неравенств:
$\frac {a} {b}\geq[\frac {a+0.5} {b}]+0.5 $
$\frac {a+1} {b}\geq[\frac {a+1.5} {b}]+0.5$
$a \in N, b\in R^+$

Руст в сообщении #361549 писал(а):

А я принял квадратные скобки за абсолютные величины.

Во-первых, зачем скобки? Я их тоже принял за абсолютную величину.

$\frac {a} {b}\geq\frac {a+0.5} {b}+0.5 $
$\frac {a+1} {b}\geq\frac {a+1.5} {b}+0.5$
$a \in N, b\in R^+$

Во-вторых, оба неравенства равносильны. Вычтите $\frac {1} {b}$ из обеих частей второго неравенства, уразуметь это.

И в третьих всё вообще очевидно: знаменатель положительный. Приведите к общему знаменателю и всё увидите. $a$ при этом может быть любым, а не только натуральным.

[MrDindows]

Виктор Викторов в сообщении #361709 писал(а):

MrDindows в сообщении #361493 писал(а):

Верно ли, что система неравенств:
$\frac {a} {b}\geq[\frac {a+0.5} {b}]+0.5 $
$\frac {a+1} {b}\geq[\frac {a+1.5} {b}]+0.5$
$a \in N, b\in R^+$

Во-первых, зачем скобки? Я их тоже принял за абсолютную величину.

Скобки это целая часть! В названии же темы написано, и в конце первого поста тоже..

[Виктор Викторов]

Вычтите $\frac {1} {b}$ из обеих частей второго неравенства и умножьте на $b$ оба неравенства. Там всё просто.

[MrDindows]

Нельзя этого делать с целой частью!)
С квадратных скобок нельзя ни вычитать нецелые числа числа, ни домножать "снаружи" на что-либо))

[Виктор Викторов]

$a\geq[\frac {a+0.5} {b}]b+0.5b $
$a\geq[\frac {a+1.5} {b}]b+0.5b-1$
$a \in N, b\in R^+$

Что нельзя делать?

[MrDindows]

ну это можно)
Только должно быть -1 во втором неравенстве

[Виктор Викторов]

А дальше надо разобрать несколько случаев. Например, целые части от целых чисел и т. д. Вкалывайте!

[MrDindows]

Та я уже всё понял, что мне надо было)
Неравенства я составил неправильно.
Составлял я их к первой задаче с Турнира Городов.

-- Ср окт 13, 2010 19:23:24 --

Думаю, раз официально тур должен был состоятся 10ого числа, к тому же это всеголишь базовый тур, задание уже можно вылаживать)
Условие задачи приблизительно такое:

Есть автомат обменивающий, скажем, тугрики на рублики по курсу 1:s ( s - не обязательно целое).
Тоесть кидаем в него монеты тугрики, он нам выдаёт рублики, и наборот) При этом при выдаче денег он всегда округляет число к ближайшему целому ( если их два, то в большую сторону).
Два вопроса:
1) Может ли такое быть, что поменяв некоторое количество тугриков на рублики, а потом эти же рублики - назад на тугрики, мы получим больше тугриков, чем было в начале.
(Тут ясно, что ответ - "да", легко можно привести пример)
2) А может ли такое быть, что проделав тоже самое с теми полученными тугриками, мы ещё раз получим большее количество?
( Я предпологаю, что ответ - "нет", и чтоб это доказать начал составлять указанные выше неравенства).

[MrDindows]

Ну что, никто не подкинет идейки ко второму пункту задачи:?)