Дивергенция в римановом пространстве

[Padawan]

Как доказать формулу

$$ \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial\sqrt g}{\partial x^i}=\Gamma^p_p_i$$

?
$g=\det(g_{ij})$, $\Gamma$ -- коэффициенты связности.

[Утундрий]

В лоб:
$\[ \begin{gathered} \Gamma _{\sigma \mu \nu } \equiv \frac{1} {2}\left( {g_{\sigma \mu ,\nu } + g_{\sigma \nu ,\mu } - g_{\mu \nu ,\sigma } } \right), \hfill \\ dg \equiv gg^{\alpha \beta } dg_{\beta \alpha } . \hfill \\ \Rightarrow \Gamma _{\mu \sigma }^\sigma = \frac{1} {2}g^{\alpha \beta } g_{\alpha \beta ,\mu } = \frac{{g_{,\mu } }} {{2g}} = \frac{{\left( {\sqrt g } \right)_{,\mu } }} {{\sqrt g }}. \hfill \\ \end{gathered} \] $

[Padawan]

Вот я во вторую строчку не могу врубиться, где $dg\equiv\ldots$

[Утундрий]

Как продифференцировать определитель? Наверное нужно взять дифференциал от каждого элемента матрицы, домножить на его алгербаическое дополнение и просуммировать все такие слагаемые. Алгебраическое же дополнение есть помноженное на определитель элемент транспонированной обратной матрицы.

[Padawan]

Спасибо! Понял!

[moscwicz]

если связность согласована с метрикой, то ковариантная производная от $g$ равна нулю, вот и вся формула