Тогда, если чисто теоретически... Можно перебирать все программы, начиная с самых коротких и для каждой проверять, генерирует ли она эту самую последовательность. Как только будет найдена кратчайшая программа, её генерирующая, посмотреть, что эта программа выдаст на -ый бит.
Тут правда проблема остановки... Время работы программы ничем не ограничено, может оказаться так, что длинная программа даст нужные битов и этот факт обнаружится довольно быстро, а ещё через какое-то время выяснится, что другая, более короткая программа, даст те же самые битов. Получается алгоритм с конечным числом ошибок...
Вроде есть такая тема "Learning system", это как раз то, что в теме спрашивается. У нас в Институте народ этим занимается. Я не интересовался никогда, надо поспрашивать.
Есть такая теоретическая машина Поста, упрощенный аналог машины Тьюринга, команды которой, при желании можно тоже упростить. Так вот, утверждается, не помню, доказано это или нет, что, в принципе на ней реализуется выполнение любого алгоритма по принципу "черного" ящика: т.е. есть данные на входе в виде последовательности битов, и есть данные на выходе - результат работы этой машины. Другое дело, что алгоритм может принципиально не закончится никогда и результата математически никто не дождется... (Этакий зависон в цикле).