Восстановить квадрат по точкам на сторонах

[Sasha2]

На доске нарисовали квадрат. Затем на каждой из его сторон отметили по точке.
После этого квадрат стерли, оставив только эти четыре точки.
По этим четырем точкам восстановить квадрат.

Задача вообще то тривиальная. Только непонятен немного случай, когда прямые MP и NQ перпендикулярны между собой.
Вроде как получается невозможно в этом случае восстановить квадрат.
(M, N, P и Q - это данные точки на сторонах AB, BC, CD и AD искомого квадрата).

Решение (в общем случае) достаточно легкое, если учесть, что два отрезка, перпендикулярных между собой и заключенных между сторонами квадрата, равны.
Но вот что делать в том случае, когда прямые MP и NQ перпендикулярны между собой, непонятно. Вроде тогда получается бесчисленное множество квадратов. То есть достаточно, через M и P провести две параллельные прямые, а через N и Q - также еще две параллельные прямые, перпендикулярные первым двум, чтобы в пересечении получился квадрат.

[ИСН]

Ну кагбе да.

[Yu_K]

http://www.youtube.com/watch?v=weW76PevK6I&NR

Только вот вопрос - мы же не знаем в каком порядке даны точки - и пары прямых можно выбирать несколькими способами.

[Sasha2]

Эти вопросы, конечно, всегда сопровождают любую задачу такого типа.
По всей видимости, приходится предполагать, что мы знаем, какая из точек лежит на какой стороне.

Иначе (как мне кажется) мы впадем вот в такую еще задачу. Доказать, что любые четыре точки плоскости (каждые три из которых, не лежат на одной прямой) являются точками некоторого квадрата.

[Yu_K]

http://geom.uz/?p=133#comments
посмотрите дискуссию здесь

[Sasha2]

Ну вполне очевидно, что в том случае, когда искомые точки середины сторон, мы уже имеем как минимум два квадрата.
Один сам искомый квадрат, а другой - это тот, вершинами которого являются эти четыре данные точки.
Одним словом, в такой формулировке нельзя сказать, что задача вполне корректна.

[paha]

(Оффтоп)

вот это

Sasha2 в сообщении #361992 писал(а):

Доказать, что любые четыре точки плоскости (каждые три из которых, не лежат на одной прямой) являются точками некоторого квадрата.

навеяло вопрос: пусть на плоскости задана некоторая норма. Верно ли, что через любые три точки проходит (и когда единственная) окружность?