Торы как прямые произведения

[Fagot]

paha в сообщении #361906 писал(а):

ну, не является односвязной (1-связной) сфера $S^0$

paha в сообщении #361906 писал(а):

A topological space X is said to be $n$-connected if and only if it is path-connected and its first $n$ homotopy groups vanish identically

Да, вроде бы по этому определению $n$ - связности сфера $S^0$ является 0-связной.

paha в сообщении #361906 писал(а):

не может несвязное пространство быть односвязным

Здесь же имеется в виду, что возможно, очевидно, другое определение односвязности, определяющее все четномерные сферы как "односвязные", в том числе, двоеточие не как несвязное множество, а как связное ... "минусодномерной" петлёй является объединение пустого множества с выколотой точкой. Она стягивается к точке в $S^0$. Понятно, что это не по классике... Можно вопрос не по теории : как Вы думаете, какие объекты в топологии обеспечивают "связь"? Точки? линии?

[Fagot]

Проверил предложение :

Someone в сообщении #361851 писал(а):

Предположим, сфера $S^3$ вложена в $\mathbb R^n$, $n>3$: $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1,\ x_5=\ldots x_n=0$. И пусть в $S^3$ вложена окружность. Проведём прямую через центр сферы и центр окружности. Через центр окружности проведём гиперплоскость, перпендикулярную проведённой прямой. Пересечение гиперплоскости с $S^3$ есть $S^2$, содержащая нашу окружность. Так как $S^2$ односвязна, в ней окружность стягивается в точку. Поскольку $S^2$ содержится в $S^3$, это стягивание происходит в $S^3$. И никакие мифические "дырки" не мешают.

Да, это так.

Хорошо. Пусть при $n\geqslant 2$ все сферы односвязны, границы шаров. Скажите, тогда за счет чего у нечетномерных сфер эйлерова характеристика зануляется и на них может существовать непрерывное поле касательных векторов?

[paha]

Fagot в сообщении #361910 писал(а):

десь же имеется в виду, что возможно, очевидно, другое определение односвязности

нет никакого другого определения))

Если Вы хотите предложить свое -- придумайте новый термин, а не эксплуатируйте всем понятный и устоявшийся

Справка:
понятие $n$-связности определено при $n\ge 0$
path-connected=линейно связный=0-связный,
simply-connected=односвязный=1-связный
по определению любое $n$-связное пространство является $(n-1)$-связным ($n\ge 1$)

-- Чт окт 14, 2010 12:50:30 --

(Оффтоп)

Fagot в сообщении #361931 писал(а):

Хорошо. Пусть при $n\geqslant 2$ все сферы односвязны, границы шаров. Скажите, тогда за счет чего у нечетномерных сфер эйлерова характеристика зануляется и на них может существовать непрерывное поле касательных векторов?

Хорошо. Пусть в огороде бузина. Но скажите, за счет чего в Киеве живет чей-то дядька?

-- Чт окт 14, 2010 12:51:38 --

Fagot в сообщении #361931 писал(а):

за счет чего у нечетномерных сфер эйлерова характеристика зануляется

за счет того, что они нечетномерны и замкнуты

[Munin]

paha
Надеюсь всё-таки на секунду вашего внимания. Правильно ли я понял, что $R^n$ с выброшенной точкой $(n-2)$-связно, но не $(n-1)$-связно?

[Fagot]

Большое спасибо за разъяснения.

[paha]

Munin
да, $S^n$ является $(n-1)$-связной, но не $n$-связной

[Fagot]

paha в сообщении #361830 писал(а):

уже скажите ЧТО ТАКОЕ ДЫРКА?

Этот вопрос повторялся не раз

Someone в сообщении #361851 писал(а):

Вы, кстати, так и не объяснили, что Вы понимаете под "дыркой".

Joker_vD в сообщении #361867 писал(а):

Но что такое дырка, в конце-то концов?

Пока нашел в литературе три определения :
1. Дыра - это окраина захолустья.
2. Дыра в компакте $K\subset X$ относительно $X$- это всякая ограниченная в $\mathbb {R}^n$ связная компонента дополнения $\mathbb {R}^n\setminus K$, которая целиком содержится в $X$.
3. Дыра - это замыкание компактного подмножества $M$ в многообразии $X$.

Хотелось бы услышать Ваши комментарии к этим определениям.

Но это могут быть определения дыры в самом многообразии, но, очевидно, не дыры, образующейся при вложении соответствующего многообразия в какое-то пространство ( типа при вложении непрерывного тора $T^2$ либо полнотория $\dot {T}^3$ в $\mathbb {R}^3$).

[paha]

Fagot в сообщении #362221 писал(а):

Дыра в компакте $K\subset X$ относительно $X$- это всякая ограниченная в $\mathbb {R}^n$ связная компонента дополнения $\mathbb {R}^n\setminus K$, которая целиком содержится в $X$.

например $n=1$, $X=[0;2]$, $K=[0;1]$
тут "дыра" -- это $(1;2]\subset [0;2]$

Fagot в сообщении #362221 писал(а):

Дыра - это замыкание компактного подмножества $M$ в многообразии $X$.

Пусть $M$ -- это точка в $X$... тут "дыра" -- это точка в $X$

[Joker_vD]

(Оффтоп)

paha в сообщении #362439 писал(а):

Пусть $M$ -- это точка в $X$... тут "дыра" -- это точка в $X$

Ух, какое оно, оказывается, дырявое, это $X$!

[Fagot]

Скажите, пожалуйста, есть ли что-то путное в таком предложении по определению дыры при вложении $n$ - мерной сферы ($n\geqslant 1$).

Если при вложении $S^n$ в односвязное многообразие $X^m$, $m>n$, возникает дыра, то оно становится неодносвязным. Это означает, что дополнение к $S^n$ будет неодносвязно.
Чтобы выявить дыру, надо исследовать $X^m$ на наличие сквозняка. Назовем сквозняком компактную замкнутую односвязную гиперповерхность $H^{m-1}$ (hole) в $X^m$, имеющую возможность неограниченно расширяться в каком-либо $(m-1)$ -направлении без пересечения с $S^n$, но пересекающую $S^n$ при неограниченном расширении во всех остальных $(m-1)$ - направлениях.

В качестве тестирующего на сквозняк объекта можно в $\mathbb {R}^{n+2}$ взять $n+1$ - мерный эллипсоид $E^{n+1}$ :

$S^n = (x^i(i=1,...,n+1)\in \mathbb {R}^{n+1}: a_{ik}x^ix^k=R_{n+1}^2, a_{ik}=\delta _{ik})$

$E^{n+1} = (x^i(i=1,...,n+2)\in \mathbb {R}^{n+2}: b_{ik}x^ix^k=R_{n+2}^2, b_{ik}>0)$ -

при определенном выборе и изменении параметров $b_{ik}$.

[Fagot]

Можно привести пример.

$S^1: {x^1}^2+{x^2}^2=R_2^2$
$E^2 :{x^1}^2+{x^2}^2+{x^3}^2\dfrac{R_3^2}{b_3^2}=R_3^2 $, $R_3<R_2$

Видно, что ни при каком значении полуоси $b_3$ данного сфероида вращения при неограниченном расширении эллипсоида в направлении $x^3$ пересечение его со сферой $S^1$ отсутствует, то есть при вложении этой одномерной сферы в трехмерное пространство возникает дыра.

В случае вложения $S^2$ в $\mathbb {R}^3$ :

$S^2: {x^1}^2+{x^2}^2+{x^3}^2=R_3^2$
$E^3 :{x^1}^2+{x^2}^2+b_{33}{x^3}+b_{44}{x^4}^2=R_4^2 $, $R_4<R_3$

будет по-другому : при $b_{33}<1$ эллипсоид будет пересекать двумерную сферу, значит, дыры нет.

[paha]

1) правильно ли я понимаю, что Вы хотите описать некоторое свойство пары $(A,X)$, где $A\subset X$ -- подмножество с индуцированной из $X$ топологией?

2) Вы начинаете попытку определения "дыры" со слов

Fagot в сообщении #363036 писал(а):

Чтобы выявить дыру, надо исследовать

это не определение... Определение имеет четкую структуру: "то-то называется так-то", или "назовем тем-то такое нечто, для которого то-то", "А называется Б, если Ц"

3)

Fagot в сообщении #363036 писал(а):

компактную замкнутую односвязную гиперповерхность $H^{m-1}$ (hole) в $X^m$, имеющую возможность неограниченно расширяться

это непонятно... именно слова "имеющую возможность" -- им можно придать любой смысл
и непонятно, что такое "направление" в произвольном многообразии

4)

Fagot в сообщении #363036 писал(а):

Если при вложении $S^n$ в односвязное многообразие $X^m$, $m>n$, возникает дыра, то оно становится неодносвязным

Если многообразие односвязно, то что бы мы не вкладывали в него, оно остается односвязным

[Fagot]

paha в сообщении #363106 писал(а):

1) правильно ли я понимаю, что Вы хотите описать некоторое свойство пары $(A,X)$, где $A\subset X$ -- подмножество с индуцированной из $X$ топологией?

Хотелось бы описать топологию $X$, индуцированную вложением $S$.

paha в сообщении #363106 писал(а):

это не определение...

Да, это пока не определение. Что будет, если дыра есть...

paha в сообщении #363106 писал(а):

это непонятно... именно слова "имеющую возможность" -- им можно придать любой смысл

Казалось, что наличие этого произвола допустимо... Я подумаю.

paha в сообщении #363106 писал(а):

что такое "направление" в произвольном многообразии

Предполагается, что существует гомеоморфизм на евклидово пространство, в котором $k$- направление ортогонально $k$- базисным векторам. Обратное справедливо?

paha в сообщении #363106 писал(а):

Если многообразие односвязно, то что бы мы не вкладывали в него, оно остается односвязным

Разве оно не меняется при этом? (Очевидно, это тоже вопрос определения ...).

[paha]

Fagot в сообщении #363120 писал(а):

paha в сообщении #363106 писал(а):
1) правильно ли я понимаю, что Вы хотите описать некоторое свойство пары $(A,X)$, где $A\subset X$ -- подмножество с индуцированной из $X$ топологией?
Хотелось бы описать топологию $X$, индуцированную вложением $S$.

Если у Вас "вложение", то индуцированная топология совпадает с той, которая была

Fagot в сообщении #363120 писал(а):

Предполагается, что существует гомеоморфизм на евклидово пространство, в котором $k$- направление ортогонально $k$- базисным векторам.

Знаете, какими "заковыристыми" бывают гомеоморфизмы? Боюсь тут геометрическая интуиция Вас подведет

Fagot в сообщении #363120 писал(а):

Разве оно не меняется при этом? (Очевидно, это тоже вопрос определения ...).

Разумеется, не меняется))) Это не вопрос определения.

[Fagot]

Да, это не вложение - вложение сохраняет структуру...

-- Пн окт 18, 2010 01:01:17 --

paha в сообщении #363124 писал(а):

Знаете, какими "заковыристыми" бывают гомеоморфизмы?

Так как гомеоморфизм - взаимно однозначное отображение, и обратное к нему непрерывно, то разве при этом образ "направления" не сохраняется?