2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение13.10.2010, 23:27 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Fagot в сообщении #361836 писал(а):
При вложении многообразия в пространство существует дырка, если в каком-либо потоке, обдувающем многообразие, возникает "сквозняк".

вы не ошиблись форумом? может, Вам лучше на stihi.ru?


-- Чт окт 14, 2010 00:28:06 --

Fagot в сообщении #361839 писал(а):
Почему же, как видно, использует : четные размерности обойдены.

появятся дельные вопросы -- отвечу)))

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение13.10.2010, 23:29 
Аватара пользователя
Fagot, чем дурью маяться, лучше бы явно определили стягивание произвольной окружности на $S^n$, $n\geqslant 2$, в точку. Это гораздо интереснее и отбило бы желание сочинять глупости.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение13.10.2010, 23:30 
paha в сообщении #361837 писал(а):
$S^0$ не является односвязной --- перечитайте определение $n$-связности
К сожалению, извините, но пока не могу согласиться с этим. Ведь речь идет не о $n$-связности, а об односвязности : при аккуратном "аналитическом продолжении" процедуры стягивания циклов в нульмерное пространство $S^0$ она окажется односвязной (это уже вроде бы было).

-- Чт окт 14, 2010 00:35:05 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #361842 писал(а):
чем дурью маяться
Да ведь наркоту-то не употребляю...Только самогон (из-за контрафакта).


-- Чт окт 14, 2010 00:39:47 --

(Оффтоп)

paha в сообщении #361840 писал(а):
вы не ошиблись форумом? может, Вам лучше на stihi.ru?
Попозже можно попробовать попытаться ввести потоки и определить сквозняк математически.


-- Чт окт 14, 2010 00:43:31 --

Someone в сообщении #361842 писал(а):
Это гораздо интереснее и отбило бы желание сочинять глупости.
Пока вообще-то не видно указаний на ошибки в "доказательстве" неодносвязности трёхмерной сферы...

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение13.10.2010, 23:50 
Аватара пользователя
Fagot в сообщении #361843 писал(а):
Да ведь наркоту-то не употребляю...

Сейчас посмотрим.

Односвязность $S^2$ Вы ведь признаёте?
Предположим, сфера $S^3$ вложена в $\mathbb R^n$, $n>3$: $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1,\ x_5=\ldots x_n=0$. И пусть в $S^3$ вложена окружность. Проведём прямую через центр сферы и центр окружности. Через центр окружности проведём гиперплоскость, перпендикулярную проведённой прямой. Пересечение гиперплоскости с $S^3$ есть $S^2$, содержащая нашу окружность. Так как $S^2$ односвязна, в ней окружность стягивается в точку. Поскольку $S^2$ содержится в $S^3$, это стягивание происходит в $S^3$. И никакие мифические "дырки" не мешают.

Вы, кстати, так и не объяснили, что Вы понимаете под "дыркой".

-- Чт окт 14, 2010 00:51:39 --

Fagot в сообщении #361843 писал(а):
Пока вообще-то не видно указаний на ошибки в "доказательстве" неодносвязности трёхмерной сферы...

Дык, никакого "доказательства" и нет. Есть набор глупостей.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:01 
Someone в сообщении #361851 писал(а):
Вы, кстати, так и не объяснили, что Вы понимаете под "дыркой".
Вопрос открыт. Пока дырка понимается интуитивно-геометрически, как сужение представлений в двух- и трёхмерном пространстве на меньшие размерности и как расширение их на бОльшие. На этот недостаток уже указывалось...

Пока Ваши соображения не понял.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:03 
paha
Я понял, что имеется в виду под проваливанием (рисунок):

(Оффтоп)

Изображение


Fagot
я правильно понял? Если да, то как это показывает неодносвязность?

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:04 
Спасибо, очень наглядно.

-- Чт окт 14, 2010 01:08:08 --

Joker_vD в сообщении #361857 писал(а):
как это показывает неодносвязность?
Вот та окружность, сквозь которую летит шарик (если учесть предысторию и будущее, то это бесконечный 5-цилиндр), если она принадлежит внутреннему пространству 3-сферы, наверно, не сможет стянуться к точке.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:13 
Цитата:
если она принадлежит внутреннему пространству 3-сферы, наверно, не сможет стянуться к точке.


Во-первых, внутреннему пространству 3-сферы (?) она не принадлежит. А стянуть можно, например, так:

(Оффтоп)

Изображение

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:22 
Joker_vD в сообщении #361859 писал(а):
Во-первых, внутреннему пространству 3-сферы (?) она не принадлежит. А стянуть можно, например, так:
Ну почему же не принадлежит, достаточно расположить её в плоскости экватора и взять её радиус $R_c$, скажем таким : $R_5<R_c<R_3$. И стянуть её не удастся по Вашему рисунку, т.к. при этом она покинет саму 3- сферу.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:33 
Fagot, вы определитесь, односвязность ЧЕГО вы опровергаете: окружности или дизъюнктного объединения шара и окружности. Если окружности — то учтите, она с тем шаром никак не связана, и все время оставаться в его экваториальной плоскости не обязана.

А то у нас спор вида:

Вы: Из ящика ничего достать нельзя.
Я: Ну как же, откройте ящик и достаньте.
Вы: А если не открывать? Тогда не достанете.
Я: А с чего я должен его держать закрытым?
Вы: Ну как же, если его открыть, тогда из него можно будет что-нибудь достать, а это невозможно!

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:39 
Joker_vD
То есть Вы хотите сказать, что это может быть не дырка, а полость, гомеоморфная сферической... Что ж, это мысль, спасибо.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 00:42 
Но что такое дырка, в конце-то концов?

Это не дырка, и даже не полость. Это, строго говоря, трамвай.

Кстати, о
Цитата:
внутреннему пространству 3-сферы
— а разве у сферы внутренность непуста?

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 01:04 
Аватара пользователя
Fagot в сообщении #361855 писал(а):
Пока Ваши соображения не понял.

Что именно?

Кстати, Вы знаете, что такое стереографическая проекция?
Её можно применить для того, чтобы гомеоморфно отобразить $S^n$ ($n\geqslant 1$) без одной точки на $\mathbb R^n$. И с помощью этой проекции легко показать, что $S^n$ при $n\geqslant 2$ односвязно.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 09:24 
Joker_vD в сообщении #361867 писал(а):
— а разве у сферы внутренность непуста?
Да, это неточность, сфере $S^3$ на экваторе принадлежит лишь окружность $R_c=R_3$. Вы нашли ошибку.
Someone в сообщении #361870 писал(а):
Её можно применить для того, чтобы гомеоморфно отобразить $S^n$ ($n\geqslant 1$) без одной точки на $\mathbb R^n$. И с помощью этой проекции легко показать, что $S^n$ при $n\geqslant 2$ односвязно.
Вообще-то выбрасывание одной точки меняет многообразие, поэтому этот метод, наверно, не годится для определения односвязно оно или нет... И ещё, выделенность размерностей $n=0,1$ удивительна, может оказаться недоразумением.

Потом, по логике :

Рассмотрим $n$- мерные шары $B^n$ c эйлеровой характеристикой $\chi (B^n)=1$.

Границей нульмерного шара $B^0$ (точки) является пустое множество, объединённое с выколотой точкой (размерности $n=-1$) - неодносвязное множество с эйлеровой характеристикой $\chi (S^{-1})=0$,
границей одномерного шара $B^1$ является нульмерная сфера $S^0$ - односвязное множество (на стягиваемость проверяются петли размерности $n=-1$) c $\chi (S^0)=2$,
границей двумерного шара $B^2$ является одномерная "сфера" $S^1= T^1$ - неодносвязное множество, ввиду этого больше похожее на одномерный тор (и даже не тор, а одномерное сужение $\dot {T}^1$трёхмерного полнотория $\dot {T}^3$), с $\chi (S^1)=0$,
границей трёхмерного шара $B^3$ является двумерная сфера $S^2$ - односвязное множество с $\chi (S^2)=2$.

Следовательно, следуя этому алгоритму,

границей четырёхмерного шара $B^4$ должна (может) являться трёхмерная "сфера" $S^3$ - неодносвязное множество (а точнее, трёхмерный полноторий $\dot {T}^3$ c $\chi (S^3)=0$).

Таким образом, было бы логично, если бы границами четномерных шаров любой размерности были не сферы (односвязные, с отличной от нуля эйлеровой характеристикой в четномерном случае), а нечетномерные полнотории (многосвязные, с равной нулю эйлеровой характеристикой, образующие дырку в соответствующем пространстве вложения).

При $n=1$ (а может, и при $n=-1$) это проходит. А вот при $n\geqslant 3$...
Наверно, здесь есть ошибки, не понимаю, где.

 
 
 
 Re: Торы как прямые произведения
Сообщение14.10.2010, 09:34 
Аватара пользователя
Fagot в сообщении #361903 писал(а):
сфера $S^0$ - односвязное множество

ну, не является односвязной (1-связной) сфера $S^0$
вот определение:
A topological space X is said to be $n$-connected if and only if it is path-connected and its first $n$ homotopy groups vanish identically
ясно? не может несвязное пространство быть односвязным: заведомо имеются петли, не гомотопные друг другу

 
 
 [ Сообщений: 119 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group