Торы как прямые произведения

[paha]

(Оффтоп)

Fagot в сообщении #361836 писал(а):

При вложении многообразия в пространство существует дырка, если в каком-либо потоке, обдувающем многообразие, возникает "сквозняк".

вы не ошиблись форумом? может, Вам лучше на stihi.ru?

-- Чт окт 14, 2010 00:28:06 --

Fagot в сообщении #361839 писал(а):

Почему же, как видно, использует : четные размерности обойдены.

появятся дельные вопросы -- отвечу)))

[Someone]

Fagot, чем дурью маяться, лучше бы явно определили стягивание произвольной окружности на $S^n$, $n\geqslant 2$, в точку. Это гораздо интереснее и отбило бы желание сочинять глупости.

[Fagot]

paha в сообщении #361837 писал(а):

$S^0$ не является односвязной --- перечитайте определение $n$-связности

К сожалению, извините, но пока не могу согласиться с этим. Ведь речь идет не о $n$-связности, а об односвязности : при аккуратном "аналитическом продолжении" процедуры стягивания циклов в нульмерное пространство $S^0$ она окажется односвязной (это уже вроде бы было).

-- Чт окт 14, 2010 00:35:05 --

(Оффтоп)

Someone в сообщении #361842 писал(а):

чем дурью маяться

Да ведь наркоту-то не употребляю...Только самогон (из-за контрафакта).

-- Чт окт 14, 2010 00:39:47 --

(Оффтоп)

paha в сообщении #361840 писал(а):

вы не ошиблись форумом? может, Вам лучше на stihi.ru?

Попозже можно попробовать попытаться ввести потоки и определить сквозняк математически.

-- Чт окт 14, 2010 00:43:31 --

Someone в сообщении #361842 писал(а):

Это гораздо интереснее и отбило бы желание сочинять глупости.

Пока вообще-то не видно указаний на ошибки в "доказательстве" неодносвязности трёхмерной сферы...

[Someone]

Fagot в сообщении #361843 писал(а):

Да ведь наркоту-то не употребляю...

Сейчас посмотрим.

Односвязность $S^2$ Вы ведь признаёте?
Предположим, сфера $S^3$ вложена в $\mathbb R^n$, $n>3$: $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1,\ x_5=\ldots x_n=0$. И пусть в $S^3$ вложена окружность. Проведём прямую через центр сферы и центр окружности. Через центр окружности проведём гиперплоскость, перпендикулярную проведённой прямой. Пересечение гиперплоскости с $S^3$ есть $S^2$, содержащая нашу окружность. Так как $S^2$ односвязна, в ней окружность стягивается в точку. Поскольку $S^2$ содержится в $S^3$, это стягивание происходит в $S^3$. И никакие мифические "дырки" не мешают.

Вы, кстати, так и не объяснили, что Вы понимаете под "дыркой".

-- Чт окт 14, 2010 00:51:39 --

Fagot в сообщении #361843 писал(а):

Пока вообще-то не видно указаний на ошибки в "доказательстве" неодносвязности трёхмерной сферы...

Дык, никакого "доказательства" и нет. Есть набор глупостей.

[Fagot]

Someone в сообщении #361851 писал(а):

Вы, кстати, так и не объяснили, что Вы понимаете под "дыркой".

Вопрос открыт. Пока дырка понимается интуитивно-геометрически, как сужение представлений в двух- и трёхмерном пространстве на меньшие размерности и как расширение их на бОльшие. На этот недостаток уже указывалось...

Пока Ваши соображения не понял.

[Joker_vD]

paha
Я понял, что имеется в виду под проваливанием (рисунок):

(Оффтоп)

Fagot
я правильно понял? Если да, то как это показывает неодносвязность?

[Fagot]

Спасибо, очень наглядно.

-- Чт окт 14, 2010 01:08:08 --

Joker_vD в сообщении #361857 писал(а):

как это показывает неодносвязность?

Вот та окружность, сквозь которую летит шарик (если учесть предысторию и будущее, то это бесконечный 5-цилиндр), если она принадлежит внутреннему пространству 3-сферы, наверно, не сможет стянуться к точке.

[Joker_vD]

Цитата:

если она принадлежит внутреннему пространству 3-сферы, наверно, не сможет стянуться к точке.

Во-первых, внутреннему пространству 3-сферы (?) она не принадлежит. А стянуть можно, например, так:

(Оффтоп)

[Fagot]

Joker_vD в сообщении #361859 писал(а):

Во-первых, внутреннему пространству 3-сферы (?) она не принадлежит. А стянуть можно, например, так:

Ну почему же не принадлежит, достаточно расположить её в плоскости экватора и взять её радиус $R_c$, скажем таким : $R_5<R_c<R_3$. И стянуть её не удастся по Вашему рисунку, т.к. при этом она покинет саму 3- сферу.

[Joker_vD]

Fagot, вы определитесь, односвязность ЧЕГО вы опровергаете: окружности или дизъюнктного объединения шара и окружности. Если окружности — то учтите, она с тем шаром никак не связана, и все время оставаться в его экваториальной плоскости не обязана.

А то у нас спор вида:

Вы: Из ящика ничего достать нельзя.
Я: Ну как же, откройте ящик и достаньте.
Вы: А если не открывать? Тогда не достанете.
Я: А с чего я должен его держать закрытым?
Вы: Ну как же, если его открыть, тогда из него можно будет что-нибудь достать, а это невозможно!

[Fagot]

Joker_vD
То есть Вы хотите сказать, что это может быть не дырка, а полость, гомеоморфная сферической... Что ж, это мысль, спасибо.

[Joker_vD]

Но что такое дырка, в конце-то концов?

Это не дырка, и даже не полость. Это, строго говоря, трамвай.

Кстати, о

Цитата:

внутреннему пространству 3-сферы

— а разве у сферы внутренность непуста?

[Someone]

Fagot в сообщении #361855 писал(а):

Пока Ваши соображения не понял.

Что именно?

Кстати, Вы знаете, что такое стереографическая проекция?
Её можно применить для того, чтобы гомеоморфно отобразить $S^n$ ($n\geqslant 1$) без одной точки на $\mathbb R^n$. И с помощью этой проекции легко показать, что $S^n$ при $n\geqslant 2$ односвязно.

[Fagot]

Joker_vD в сообщении #361867 писал(а):

— а разве у сферы внутренность непуста?

Да, это неточность, сфере $S^3$ на экваторе принадлежит лишь окружность $R_c=R_3$. Вы нашли ошибку.

Someone в сообщении #361870 писал(а):

Её можно применить для того, чтобы гомеоморфно отобразить $S^n$ ($n\geqslant 1$) без одной точки на $\mathbb R^n$. И с помощью этой проекции легко показать, что $S^n$ при $n\geqslant 2$ односвязно.

Вообще-то выбрасывание одной точки меняет многообразие, поэтому этот метод, наверно, не годится для определения односвязно оно или нет... И ещё, выделенность размерностей $n=0,1$ удивительна, может оказаться недоразумением.

Потом, по логике :

Рассмотрим $n$- мерные шары $B^n$ c эйлеровой характеристикой $\chi (B^n)=1$.

Границей нульмерного шара $B^0$ (точки) является пустое множество, объединённое с выколотой точкой (размерности $n=-1$) - неодносвязное множество с эйлеровой характеристикой $\chi (S^{-1})=0$,
границей одномерного шара $B^1$ является нульмерная сфера $S^0$ - односвязное множество (на стягиваемость проверяются петли размерности $n=-1$) c $\chi (S^0)=2$,
границей двумерного шара $B^2$ является одномерная "сфера" $S^1= T^1$ - неодносвязное множество, ввиду этого больше похожее на одномерный тор (и даже не тор, а одномерное сужение $\dot {T}^1$трёхмерного полнотория $\dot {T}^3$), с $\chi (S^1)=0$,
границей трёхмерного шара $B^3$ является двумерная сфера $S^2$ - односвязное множество с $\chi (S^2)=2$.

Следовательно, следуя этому алгоритму,

границей четырёхмерного шара $B^4$ должна (может) являться трёхмерная "сфера" $S^3$ - неодносвязное множество (а точнее, трёхмерный полноторий $\dot {T}^3$ c $\chi (S^3)=0$).

Таким образом, было бы логично, если бы границами четномерных шаров любой размерности были не сферы (односвязные, с отличной от нуля эйлеровой характеристикой в четномерном случае), а нечетномерные полнотории (многосвязные, с равной нулю эйлеровой характеристикой, образующие дырку в соответствующем пространстве вложения).

При $n=1$ (а может, и при $n=-1$) это проходит. А вот при $n\geqslant 3$...
Наверно, здесь есть ошибки, не понимаю, где.

[paha]

Fagot в сообщении #361903 писал(а):

сфера $S^0$ - односвязное множество

ну, не является односвязной (1-связной) сфера $S^0$
вот определение:
A topological space X is said to be $n$-connected if and only if it is path-connected and its first $n$ homotopy groups vanish identically
ясно? не может несвязное пространство быть односвязным: заведомо имеются петли, не гомотопные друг другу