Континуальность множества функций.

[AD]

(любопытность, навеянная темой про монотонные функции)

Множество (действительнозначных) измеримых функций на отрезке [0,1], рассматриваемых "с точностью до множества меры нуль", континуально. Хотя бы потому, что простых функций "с точностью до множества меры нуль" континуум. Хотя бы потому, что измеримых множеств "с точностью до множества меры нуль" континуум. Хотя бы потому, что открытых множеств континуум.

А что можно сказать в этом контексте про множество всех функций на [0,1] "с точностью до множества меры нуль"?

(извиняюсь за провокационно-альтернативщецкий заголовок)

[Echo-Off]

Неизмеримых функций не существует, господа конструктивные математики!

[AD]

Эх, ну почему он прав по любому поводу ...

С.Лем писал(а):

... Эта примитивная констатация может удовлетворить лишь ум простака, но отнюдь не ученого, поскольку Высшая Школа Небытия тем, что существует, вообще не занимается; ...

[Spook]

А мы вот проходили пример неизмеримого множества, правда там использовалась аксиома выбора(хотя наверно можно было просто брать наименьший и все). И кстати в курсе математической логике решали задачу, что множество всех действительных функций имеет мощность гиперконтинуум.

[AD]

И то, и другое - и "да", и очевидно. Вопрос про фактормножество множества функций по отношению эквивалентности "равны почти всюду".

[Spook]

если верно, что 2 различные непрерывные функции обязательно принадлежат к разным классам эквивалентности, тогда я думаю что ответ - континуум.

[Spook]

Вот, нашел теорему в учебнике Колмогорова-Фомина:
Теорема(Н.Н.Лузина)
...Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на $[a,b]$ путем её изменения на множестве сколь угодно малой меры.

[Профессор Снэйп]

Spook писал(а):

А мы вот проходили пример неизмеримого множества, правда там использовалась аксиома выбора(хотя наверно можно было просто брать наименьший и все).

Ну, аксиомой выбора ведь пользоваться никто не запрещает А без аксиомы выбора, боюсь, неизмеримое множество не построить. Хотя не уверен...

Что касается основной задачи. Надо взять разбиение действительной прямой на континуум непересекающихся неизмеримых множеств (почему такое разбиение существует, пока не вижу, но мне кажется, что должно существовать). На каждом из элементов разбиения можно задавать функцию произвольным образом. Так что ответ --- гиперконтинуум.

[ewert]

AD писал(а):

(любопытность, навеянная темой про монотонные функции)

Множество (действительнозначных) измеримых функций на отрезке [0,1], рассматриваемых "с точностью до множества меры нуль", континуально. Хотя бы потому, что простых функций "с точностью до множества меры нуль" континуум.

, а любую измеримую функцию можно приблизить простыми -- это имелось в виду?

Что ж, давайте тогда докажем счётность множества вещественных чисел. Берём множество рациональных чисел -- оно счётно. Любое вещественное число приближается рациональными...

[AD]

Эх, забыл про эту тему уже ...

Цитата:

, а любую измеримую функцию можно приблизить простыми -- это имелось в виду?

Что ж, давайте тогда докажем счётность множества вещественных чисел. Берём множество рациональных чисел -- оно счётно. Любое вещественное число приближается рациональными...

Я пользуюсь известным фактом, что континуальнозначных последовательностей континуум. Вы серьёзно не понимали или прикалывались?
_________________

Spook, речь идет в основном о неизмеримых функциях. Что измеримых функций континуум - это мы уже знаем.
_________________

Профессор Снэйп ... конструктивное предложение

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Профессор Снэйп ... конструктивное предложение

К сожалению, я так до сих пор и не понял, как доказывать существование нужного разбиения.

Идея пока только одна. Пусть $\mathcal{E}$ --- базис Гамеля $\mathbb{R}$ как векторного пространства над $\mathbb{Q}$ и $\mathcal{X} \subset \mathcal{E}$ --- его собственное подмножество. Рассмотрим $L = \mathcal{L}(\mathcal{X})$ --- его линейную оболочку. Тогда

$$ \{ x + L : x \in \mathcal{L}(\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}) \} $$

есть разбиение $\mathbb{R}$ на семейство непересекающихся множеств, каждое их которых получается сдвигом $L$ на какой-то элемент $\mathbb{R}$. Если $\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}$ счётно, то $\mathcal{L}(\mathcal{E} \setminus \mathcal{X})$ тоже счётно и, значит, все элементы этого разбиения неизмеримы. А вот если $\mathcal{E} \setminus \mathcal{X}$ континуально? Как-то не верится, что во всех подобных случаях $L$ будет иметь меру $0$...

[ewert]

AD писал(а):

Эх, забыл про эту тему уже ...

Цитата:

, а любую измеримую функцию можно приблизить простыми -- это имелось в виду?

Что ж, давайте тогда докажем счётность множества вещественных чисел. Берём множество рациональных чисел -- оно счётно. Любое вещественное число приближается рациональными...

Я пользуюсь известным фактом, что континуальнозначных последовательностей континуум. Вы серьёзно не понимали или прикалывались?

Да, прикололся. Мне там показалось, что плотность каким-то способом пытаются привязать к равномощности, а это мне как-то не по душе. Но вполне возможно, что я и неправильно понял смысл того предложения.

[AD]

В порядке некрофилии:

Профессор Снэйп в сообщении #122405 писал(а):

Надо взять разбиение действительной прямой на континуум непересекающихся неизмеримых множеств (почему такое разбиение существует, пока не вижу, но мне кажется, что должно существовать).

Вот >> тут << кто-то утверждает, что таки существует!