Перпендикуляры из точки выпуклого многоугольника к сторонам

[arqady]

VoloCh в сообщении #361239 писал(а):

arqady, ну за что ж вы так физиков опустили?

Не ставил своей задачей опускать физику. Да это и невозможно. Человек не может без физики, также как не может и без астрологии, психологиии и других областей его интересов. За физические результаты Нобелевские премии дают. Чем не оценка важности и нужности для нас этой науки! За астрологические находки пока не дают, но, думается, и это не за горами.
Но нельзя допускать решение математических задач методами физики или астрологии .

[Joker_vD]

Цитата:

Но нельзя допускать решение математических задач методами физики

А решение физических задач методами математики?

(Оффтоп)

Физикам нужен матан, функан и УрЧП. А если бы существовала магия, то готов спорить, она бы опиралась на абстрактную алгебру :) Было бы здорово нормировать кольца вживую...

[sergey1]

Цитата:

Но нельзя допускать решение математических задач методами физики ...

Почему? Это время от времени приносит пользу.
Кроме того, это красиво

[Andrey173]

Скоро по математике олимпиада) С прошлого школьного тура все решил. кроме одной. И как раз тоже с планиметрии) Надеюсь не будете против если я здесь напишу. Тоже просто подталкните)
Задача - Пусть биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ углов BAC и CBA треугольника ABC пересекаются в точке M и величина угла ACB равно 60 градусов. Доказать, что треугольник $A_1B_1M$ равнобедренный)

[gris]

...можно вписать в окружность вместе с С? Не угадал
Ну там с углами надо помудрить.

[Andrey173]

Да я мудрил, мудрил. Не получается(

[arqady]

Andrey173 в сообщении #361350 писал(а):

Задача - Пусть биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ углов BAC и CBA треугольника ABC пересекаются в точке M и величина угла ACB равно 60 градусов. Доказать, что треугольник $A_1B_1M$ равнобедренный)

Ведь луч $CM$ - биссектриса.

[gris]

Не подойдёт про вписанный четырёхугольник?
Значит, что-то в условии не то. Ну разве что большой треугольник равносторонний.

[Andrey173]

Да с равносторонним треугольником там решать то нечего)
Может и вправду опечатка... Надо спросить учителя.

[Sasha2]

Нет никакой опечатки нет.
Все даже очень просто.
Сперва покажите, что четырехугольник $CB_1MA_1$ может быть вписан в окружность, ну а дальше уже сплошная тривиальшина, ибо угол $\angle B_1MA_1$ известен.

[Andrey173]

Спасибо всем)
Окружность можно описать т.к. сумма противоположных углов равна 180 градусов. А на дуги $A_1M$ и $B_1M$ опираются равные вписанные углы.

[Andrey173]

Что-то не получается доказать про высоту из внутренней точки. Я так понял надо соединить внутреннею точку с вершинами самой близкой стороны и доказать что углы прилежащие к этой стороне острые? При этом нужно как-то использовать что данная сторона ближе всех. Только вот как(

[Sasha2]

Ну тут от противного доказывается.
Ну вот Вы провели высоту к самой близкой (которую мы пока так считаем) стороне. Основание этой высоты по предположению лежит не на самой этой стороне, а на ее продолжении. Но эта высота (ведь многоугольник выпуклый) пересечет еще одну сторону. Ну дальше уже врде все тривиально.

А если убрать требование выпуклости, то тогда легко точно таким же образом показывается, что основание хотя бы одной из высот любого многоугольника лежит внутри него.

[Andrey173]

Спасибо!)