Функция вещественного переменного

[Xenia1996]

О функции $f$ (из множества всех вещественных чисел в него же) известно, что множество значений суммы $f(x)+f(2x)$ конечно.
Обязательно ли множество значений $f(x)$ конечно?

(Оффтоп)

Я попробовала, но получилась какая-то *рень.
Если $x=0$, то $f(x)=0$.
Если $x>0$ и $[log_2 x]$ - чётна, то $f(x)=x/2^{[log_2 x]}$
Если $x>0$ и $[log_2 x]$ - нечётна, то $f(x)=-x/2^{[log_2 x]}$
Если $x<0$ и $[log_2 (-x)]$ - чётна, то $f(x)=x/2^{[log_2 (-x)]}$
Если $x<0$ и $[log_2 (-x)]$ - нечётна, то $f(x)=-x/2^{[log_2 (-x)]}$
Если я ничего не перепутала, это должно работать. И тогда ответ на задачу - "необязательно".

-- Вт окт 12, 2010 17:30:00 --

Xenia1996 в сообщении #361342 писал(а):

(Оффтоп)

Если я ничего не перепутала, это должно работать.

Но если перепутала, буду рада желающим помочь.

[ИСН]

Вроде всё верно. Тот самый случай, когда лучше образно описать функцию словами или картинкой, чем формулой, потому что она противная. (Ну, это если не на экзамене.)
Кстати, по этому признаку напомнило старую задачу - думаю, Вам понравится:

Цитата:

Мыслимо ли такое, чтобы график функции совмещался сам с собой при повороте на $\pi/2$ вокруг какой-то точки?

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #361345 писал(а):

Вроде всё верно. Тот самый случай, когда лучше образно описать функцию словами или картинкой, чем формулой, потому что она противная. (Ну, это если не на экзамене.)
Кстати, по этому признаку напомнило старую задачу - думаю, Вам понравится:

Цитата:

Мыслимо ли такое, чтобы график функции совмещался сам с собой при повороте на $\pi/2$ вокруг какой-то точки?

1. Спасибо за Вашу задачу, я её позже разберу, так как жутко пухнет голова после предыдущей.

2. А моё решение вправду верно? А то я всё боялась напутать чего-нибудь... В книжке решение намного длиннее, да ещё и синус какой-то привлекается (правда в книжку я только что заглянула, а когда решала сама, вообще поначалу думала, что нет такой функции).

3. А если катринкой описать, как Вы предлагаете, то каким образом?

[ИСН]

Как-то так...

[venco]

Если нужно гладко, то $\sin{(\pi \log_2{|x|})}$

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #361353 писал(а):

Как-то так...

Вау! Красотень-то какая! Это Вы сами начертили?

-- Вт окт 12, 2010 18:48:10 --

А вот похожая задача:
О последовательности $a_n$ известно, что множество значений сумм $a_n+a_{2n}$ и $a_n+a_{4n}$ конечно. Обязательно ли множество значений $a_n$ конечно?

[EtCetera]

ИСН

ИСН в сообщении #361345 писал(а):

Цитата:

Мыслимо ли такое, чтобы график функции совмещался сам с собой при повороте на $\pi/2$ вокруг какой-то точки?

(Вроде бы, мыслимо)

$f(x)$ - нечетная функция, $f(0)=0$, при $x>0$ значения функции находятся так:
1. если $x\in\left[\tg^{2m}\alpha\cdot \cos\alpha;\ \tg^{2m+1}\alpha\cdot \cos\alpha\right)$, то $f(x)=x\tg\alpha$;
2. если $x\in\left[\tg^{2m-1}\alpha\cdot \cos\alpha;\ \tg^{2m}\alpha\cdot \cos\alpha\right)$, то $f(x)=-x\ctg\alpha$.
Здесь $m\in\mathbb{Z}$, $\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

[ИСН]

Xenia1996, как бы это сказать, я написал последовательность значков, а остальное сделал комп. Описывается ли это понятием "сам", право, не знаю.
EtCetera, ну да, кажется, это моё решение.

(Оффтоп)

а впрочем, я же и начал разговор с того, что формулы здесь неудобны, так что если хотите, откройте оригинальную тему и посмотрите.

[EtCetera]

ИСН

ИСН в сообщении #361404 писал(а):

кажется, это моё решение

Извиняюсь за непредумышленный "грабеж", объясняемый поисковым невежеством.

(Оффтоп)

Попытавшись оное ликвидировать, обнаружил в той теме еще парочку очень красивых решений. За наводку весьма признателен.

ИСН в сообщении #361404 писал(а):

формулы здесь неудобны

Это точно! Я со своими малость помучился...