МНК для плоскости.

[luckydevil]

Здравствуйте. У меня есть облако точек в 3-х мерном пространстве и мне необходимо вписать плоскость по МНК. Почему то нигде алгоритма не нашел, а как сделать МНК для трехмерного случая не знаю, может кто подскажет метод?

[ewert]

Вам надо найти аппроксимирующую функцию $z=Ax+By+C$ -- или переменные $x,y,z$ равноправны? Это две совершенно разные задачи.

[luckydevil]

Ну да, я сделал обычный мнк, то есть минимизировал сумму квадратов отклонений для этой функции $z=Ax+By+C$, где A B C коэффициенты которые нужно найти. Получилось уравнение прямой в трехмерном пространстве.

[ewert]

luckydevil в сообщении #361228 писал(а):

Получилось уравнение прямой в трехмерном пространстве.

Какая ж это прямая, когда это плоскость.

[AKM]

Здесь было.

[luckydevil]

Прямая, это потому что я неправильно x,y подставил. Но сейчас тоже не работает:
Возвел в квадрат, нашел частные производные, получил систему

$ \left\{ \begin{array}{l} a\sum x^2+b\sum xy+c\sum x-\sum xz,\\ a\sum xy+b\sum y^2+c\sum y-\sum yz,\\ a\sum x+b\sum y+cN-\sum z, \end{array} \right. $
Попробовал в Матлабе

x=1:10;
x=ones(10,1)*x;
y=1:2:20;
y=ones(10,1)*y;
y=y';
z=1*x+2*y+3;
X=sum(sum(x));
Y=sum(sum(y));
Z=sum(sum(z));
X2=sum(sum(x.*x));
XY=sum(sum(x.*y));
XZ=sum(sum(x.*z));
Y2=sum(sum(y.*y));
YZ=sum(sum(z.*y));
A=[X2 XY X;XY Y2 Y;X Y 10];
f=[XZ YZ Z]';
r=A\f

[ewert]

luckydevil в сообщении #361240 писал(а):

x=1:10;
x=ones(10,1)*x;
y=1:2:20;
y=ones(10,1)*y;
y=y';
z=1*x+2*y+3;

В-первых, это нелепо -- зачем Вам матрицы с данными, да ещё и дублирующими друг друга. Во-вторых, и не может работать: все точки у Вас лежат на одной прямой, поэтому МНК на таких данных некорректен (система получится вырожденной).

[luckydevil]

И правда, бред. Я пробовал и векторы с данными, и так чтобы точки не лежали на прямой.
Для прямой все работает. А для плоскости не знаю как. Вот как для прямой:

x=1:10;
y=1:2:20;
z=1*x+2*y+3+rand(1,10)*5;
X=(sum(x));
Y=(sum(y));
Z=(sum(z));
X2=(sum(x.*x));
XY=(sum(x.*y));
XZ=(sum(x.*z));
Y2=(sum(y.*y));
YZ=(sum(z.*y));
Z2=sum(z.*z);
A=[X2 XY X;XY Y2 Y;X Y 10]
% A=[X2 XY XZ;XY Y2 YZ;XZ XY Z2];
f=[XZ YZ Z]';
r=A\f

figure, plot3(x,y,z,x,y,r(1)*x+r(2)*y+r(3))

[ewert]

А Вас не настораживает сообщение, которое выдаёт Матлаб:

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
         Results may be inaccurate. RCOND = 9.057764e-018.

?

И действительно, матрица ну просто жутко singular, причём не случайно. Эта матрица вообще никакого отношения к МНК не имеет.

[Алексей К.]

Задача довольно простая.
Вам нужно минимизировать сумму

$$\sum (A x_i + B y_i +Cz_i + D)^2 \text{~~при условии~~} A^2+B^2+C^2=1.$$

(Именно при этом условии указанная сумма есть сумма квадратов отклонений от плоскости.) Поиск условного минимума --- известная в матане задачка. В системе цетра тяжести точек получим с необходимостью $D=0$, и задача сведётся к поиску собственных значений матрицы М из сообщения, на которое Вам уже указали. Чисто решить кубическое уравнение. Нужно взять наименьшее собственное значение; соотв. собственный вектор --- искомый вектор $(A,B,C)$.

[zzzf]

Недавно самому надо было сделать эту задачу ... решения НИГДЕ нормального не нашел, пришлось самому вникать .
Вот работающий код для матлаба

Используется синтаксис Matlab M

clear;
clc;
%(1, 1, 7), (1, 2, 9), (2, 1, 10), (2, 2, 11), (2, 3, 12). собственно наши измерения с неточностями 
x = [1 1 2 2 2]'
y = [1 2 1 2 3]'
z = [7 9 10 11 12]'
% поделим ур-е плоскости на коэф с не равный нулю a/c*x + b/c*y +z +d/c=0
A = [x(1) y(1) 1;
    x(2) y(2) 1;
    x(3) y(3) 1;
    x(4) y(4) 1;
    x(5) y(5) 1];
b0 = [-z(1),- z(2),-z(3),-z(4),-z(5)]'
xr=A\b0
norm(A)*norm(A') % число обусловленностей
res1=xr(1) % a/c (*)
res2=xr(2) % b/c (**)
res3=xr(3) % d/c
%a^2+b^2+c^2=1 (***), осталось только решить систему из ур-ий
%(*),(**),(***) чтобы найти a,b,c , после чего d=res3*c

Pphantom:

Поздновато, но пусть будет, только код надо бы оформлять с использованием соответствующего тэга. Поправил.