Ограничение линейного функционала на отрезок
На какой отрезок?...
Если рассуждать от противного, у меня выходит лишь вот что:
Да, я врубился (меня сбил с толку странный термин "угловая точка"). Естественно, от противного ничего и не докажешь, т.к. утверждение сформулировано неверно (или Вы неверно его понимаете). Должно быть так: "среди точек, в которых достигается максимум, есть хоть одна угловая".
Тогда всё вроде просто. Пусть

-- компакт и

-- множество всех его точек, в которых достигается максимум, т.е. пересечение

с подпространством

. Это -- тоже компакт и, следовательно, содержит хотя бы одну "угловую" (для самого себя) точку. Вот она-то и будет искомой "угловой" точкой также и для

, поскольку

лежит по одну из сторон того подпространства

.
у каждого компактного выпуклого множества есть угловая точка.
А зачем выпуклого?
Естественно, данная в задаче линейная функция должна быть непрерывной. Этого в условии нет. А вот требуется ли это по существу --- надо подумать...
Видимо, да, иначе максимум может просто вообще не достигаться. Или если даже достигается, то пересечение может не быть компактом.